Économétrie avancée
Annexe A — Rappels d’outils mathématiques de base
- Présentation du cours
- Nature de l'économétrie et données économiques
- Le modèle de régression simple
- Régression multiple : estimation
- Régression multiple : inférence
- Régression multiple : propriétés asymptotiques des MCO
- Régression multiple : approfondissements
- Variables qualitatives (indicatrices)
- Hétéroscédasticité
- Problèmes de spécification et de données
- Introduction aux séries temporelles
- Séries temporelles — approfondissements
- Autocorrélation et hétéroscédasticité en séries temporelles
- Données de panel — méthodes simples
- Données de panel — méthodes avancées
- Variables instrumentales et doubles moindres carrés
- Modèles à équations simultanées
- Variables dépendantes limitées et sélection d'échantillon
- Sujets avancés en séries temporelles
- Réaliser un projet empirique
- Annexe A — Rappels d'outils mathématiques de base
- Annexe B — Rappels de probabilité
- Annexe C — Rappels de statistique mathématique
- Annexe D — Rappels d'algèbre matricielle
- Annexe E — Le modèle de régression linéaire sous forme matricielle
Économétrie avancée
Annexe A : Rappels d’outils mathématiques de base
Avant de commencer
Pourquoi cette annexe
Ce dernier chapitre boucle le programme en revenant aux outils mathématiques élémentaires mobilisés depuis l’introduction : opérateur somme, fonctions linéaires et non linéaires, pourcentages, logarithme, exponentielle, dérivées. Rien de nouveau conceptuellement, mais une clarification utile de manipulations utilisées silencieusement dans presque tous les chapitres précédents — en particulier la distinction entre variation en points de pourcentage et variation en pourcentage, source d’erreurs fréquentes.
L’opérateur somme
Propriétés de base
Pour une constante c et des suites \{x_i\}, \{y_i\} : \sum_{i=1}^n c=nc ; \sum_{i=1}^n cx_i=c\sum_{i=1}^n x_i ; \sum_{i=1}^n(ax_i+by_i)=a\sum x_i+b\sum y_i. En revanche, la somme des rapports n’est pas le rapport des sommes, et la somme des carrés n’est pas le carré de la somme — deux pièges algébriques fréquents.
La moyenne \bar x=n^{-1}\sum_i x_i vérifie \sum_i(x_i-\bar x)=0 : les écarts à la moyenne se compensent toujours exactement. On a aussi \sum_i(x_i-\bar x)^2=\sum_i x_i^2-n\bar x^2, identité omniprésente dans les calculs de variance et de somme des carrés des chapitres 1 à 4. La médiane, moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne, est souvent préférée pour décrire des variables comme le revenu ou le prix des logements.
Fonctions linéaires ou non
L’effet marginal constant
Pour y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2, la variation de y est \Delta y=\beta_1\Delta x_1+\beta_2\Delta x_2 : chaque \beta_j est l’effet partiel de x_j sur y, toutes choses égales par ailleurs (\Delta x_{-j}=0) — c’est la traduction mathématique exacte de la clause ceteris paribus omniprésente dans ce cours depuis l’introduction.
Pour \text{housing}=164+0{,}27\cdot\text{income}, la propension marginale à consommer du logement est constante (0{,}27), mais la propension moyenne, 164/\text{income}+0{,}27, décroît avec le revenu et ne converge vers la propension marginale que pour un revenu élevé — illustration simple de pourquoi les fonctions linéaires échouent à décrire certaines relations économiques sur toute la plage des valeurs.
Pourcentages et points de pourcentage
La variation proportionnelle est \Delta x/x_0, la variation en pourcentage est 100\cdot\Delta x/x_0. Si x est elle-même une proportion ou un pourcentage (ex. : un taux de chômage passant de 24 % à 30 %), la variation en points de pourcentage (30-24=6 points) diffère radicalement de la variation en pourcentage (100\times6/24\approx25\%) — deux nombres corrects mais qui répondent à des questions différentes, et une source classique de confusion, y compris dans le débat public.
Le passage de 4 % à 6 % peut légitimement se décrire comme une hausse de « deux points de pourcentage » (ce que soulignaient les partisans) ou comme une hausse de « 50 % » du taux (100\times2/4, ce que soulignaient les opposants). Les deux formulations sont mathématiquement exactes ; seul le choix de la mesure diffère selon l’argument que l’on veut défendre.
Quadratique, log, exponentiel
Rendements marginaux décroissants
Pour y=\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2 avec \beta_1>0,\ \beta_2<0, la pente approchée est \Delta y/\Delta x\approx\beta_1+2\beta_2x et le maximum est atteint en x^*=-\beta_1/(2\beta_2) — c’est exactement la logique du point de retournement expérience-salaire utilisée au chapitre 5. Au-delà de x^*, l’effet marginal devient négatif : un rappel que la spécification quadratique n’est qu’une approximation locale, pas une description valable sur tout le domaine.
Pour de petites variations, \log(x_1)-\log(x_0)\approx\Delta x/x_0, d’où 100\cdot\Delta\log(x)\approx\%\Delta x. Trois spécifications combinant \log résument l’essentiel des modèles rencontrés dans ce cours : \log(y)=\beta_0+\beta_1\log(x) donne une élasticité constante \beta_1 ; \log(y)=\beta_0+\beta_1x donne une semi-élasticité 100\beta_1 (variation en % de y pour une hausse d’une unité de x) ; y=\beta_0+\beta_1\log(x) donne \Delta y\approx(\beta_1/100)\%\Delta x (variation en unités de y pour une hausse de 1 % de x).
Rendements marginaux décroissants (suite)
\log(wage)=2{,}78+0{,}094\,educ : chaque année d’études supplémentaire augmente le salaire d’environ 9{,}4 % (semi-élasticité). \log(q)=4{,}7-1{,}25\log(p) : l’élasticité-prix de la demande est -1{,}25 (constante, quel que soit le niveau de prix). hours=33+45{,}1\log(wage) : une hausse de salaire de 10 % augmente les heures travaillées d’environ 0{,}451\times10\approx4{,}5 heures.
\exp(\cdot) est l’inverse du logarithme : \log[\exp(x)]=x, \exp[\log(x)]=x pour x>0. Elle apparaît chaque fois qu’un modèle est spécifié en \log(y)=\beta_0+\beta_1x et que l’on souhaite revenir à y=\exp(\beta_0+\beta_1x) — exactement la problématique de la retransformation rencontrée au chapitre 5 pour prédire y à partir d’un modèle en \log(y).
Calcul différentiel
La dérivée comme approximation locale
Pour y=f(x), \Delta y\approx (df/dx)\big|_{x_0}\cdot\Delta x pour de petites variations. Dérivées usuelles : y=\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2\Rightarrow dy/dx=\beta_1+2\beta_2x ; y=\beta_0+\beta_1\log(x)\Rightarrow dy/dx=\beta_1/x ; y=\exp(\beta_0+\beta_1x)\Rightarrow dy/dx=\beta_1\exp(\beta_0+\beta_1x). Ces formules justifient rigoureusement toutes les approximations utilisées empiriquement dans ce cours pour interpréter des coefficients non linéaires.
Pour y=f(x_1,x_2), la dérivée partielle \partial y/\partial x_1 traite x_2 comme une constante — c’est la généralisation calculatoire de l’effet partiel défini plus haut. Pour minimiser ou maximiser une fonction de plusieurs variables, une condition nécessaire est l’annulation simultanée de toutes les dérivées partielles : \partial f/\partial x_j=0 pour tout j. C’est précisément ce principe, appliqué à la somme des carrés des résidus, qui engendre les équations normales des MCO dès le chapitre 2 — et sous forme matricielle au chapitre 13.
Pour wage=3{,}10+0{,}41\,educ+0{,}19\,exper-0{,}004\,exper^2+0{,}007\,educ\times exper, l’effet partiel de l’expérience est \partial wage/\partial exper=0{,}19-0{,}008\,exper+0{,}007\,educ — il dépend à la fois du niveau d’expérience et du niveau d’éducation, exactement la logique des termes d’interaction étudiés au chapitre 5.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- L’opérateur somme obéit à des règles de linéarité simples, mais ne distribue ni sur les rapports ni sur les carrés.
- Un effet partiel (constant en linéaire, variable en non linéaire) formalise la clause ceteris paribus ; sa version calculatoire est la dérivée (ou dérivée partielle).
- Variation en pourcentage et variation en points de pourcentage sont deux quantités différentes dès que la variable étudiée est elle-même un taux.
- Les spécifications combinant logarithme et niveau (élasticité, semi-élasticité) résument la quasi-totalité des interprétations de coefficients utilisées dans ce cours.
- Les conditions du premier ordre (dérivées partielles nulles) sont le principe mathématique unique derrière l’estimation par moindres carrés, du chapitre 2 au chapitre 13.
Ce chapitre clôt le parcours d’économétrie avancée : des fondations de la régression simple (l’introduction) aux modèles à variables limitées et à la cointégration (chapitres 15-16), en passant par les rappels de probabilité, de statistique et d’algèbre matricielle qui en soutiennent la théorie. Les outils rassemblés ici — sommes, effets partiels, logarithmes, dérivées — sont ceux qu’un économètre mobilise, souvent sans y penser, dans chacun des dix-huit chapitres précédents.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)