Économétrie avancée
Le modèle de régression simple
- Présentation du cours
- Nature de l'économétrie et données économiques
- Le modèle de régression simple
- Régression multiple : estimation
- Régression multiple : inférence
- Régression multiple : propriétés asymptotiques des MCO
- Régression multiple : approfondissements
- Variables qualitatives (indicatrices)
- Hétéroscédasticité
- Problèmes de spécification et de données
- Introduction aux séries temporelles
- Séries temporelles — approfondissements
- Autocorrélation et hétéroscédasticité en séries temporelles
- Données de panel — méthodes simples
- Données de panel — méthodes avancées
- Variables instrumentales et doubles moindres carrés
- Modèles à équations simultanées
- Variables dépendantes limitées et sélection d'échantillon
- Sujets avancés en séries temporelles
- Réaliser un projet empirique
- Annexe A — Rappels d'outils mathématiques de base
- Annexe B — Rappels de probabilité
- Annexe C — Rappels de statistique mathématique
- Annexe D — Rappels d'algèbre matricielle
- Annexe E — Le modèle de régression linéaire sous forme matricielle
Économétrie avancée
Chapitre 1 : Le modèle de régression simple
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
La régression simple explique une variable y par une seule variable x. Ses limites sont réelles (chapitre 2 les lèvera), mais elle introduit, sur le cas le plus simple possible, tout le vocabulaire et la logique d’estimation qui structureront l’ensemble du cours.
Le modèle et son estimation
Spécification
y = \beta_0 + \beta_1 x + u, où y est la variable expliquée (dépendante), x la variable explicative (indépendante), \beta_0,\beta_1 des paramètres inconnus de la population, et u le terme d’erreur — tous les autres facteurs, non observés, qui affectent y.
L’estimateur des moindres carrés ordinaires
À partir d’un échantillon (x_i,y_i)_{i=1,\dots,n}, on choisit \hat\beta_0,\hat\beta_1 qui minimisent la somme des carrés des résidus \hat u_i=y_i-\hat\beta_0-\hat\beta_1 x_i : \min_{\hat\beta_0,\hat\beta_1}\ \sum_{i=1}^n \big(y_i-\hat\beta_0-\hat\beta_1 x_i\big)^2. Les conditions du premier ordre (chapitre 2, cours d’analyse mathématique) donnent les formules explicites \hat\beta_1 = \dfrac{\sum_i(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum_i(x_i-\bar x)^2}, \qquad \hat\beta_0=\bar y-\hat\beta_1\bar x.
Sur un échantillon de n=526 travailleurs, la régression du salaire horaire ($) sur les années d’éducation donne \widehat{\text{salaire}} = -0{,}90 + 0{,}54\ \text{éduc}. Chaque année d’éducation supplémentaire est associée à une hausse prédite de 0{,}54 $/heure, ceteris paribus (au sens statistique du modèle). L’intercept (-0{,}90) n’a ici pas de sens économique direct : personne dans l’échantillon n’a moins de huit années d’éducation.
Hypothèses de la régression
Quand les MCO sont-ils fiables ?
- SLR.1 : le modèle est linéaire en ses paramètres.
- SLR.2 : échantillonnage aléatoire dans la population.
- SLR.3 : x varie dans l’échantillon (\sum_i(x_i-\bar x)^2>0) — sinon \hat\beta_1 n’est même pas calculable.
- SLR.4 : espérance conditionnelle nulle, \mathbb{E}[u\mid x]=0 — en moyenne, les facteurs inobservés ne sont pas liés à x.
Sous SLR.1 à SLR.4, \mathbb{E}[\hat\beta_0]=\beta_0 et \mathbb{E}[\hat\beta_1]=\beta_1 : en moyenne sur tous les échantillons possibles, l’estimateur MCO vise juste.
SLR.4 est rarement garantie en pratique. Si un facteur omis (l’aptitude naturelle, dans l’exemple du salaire) influence à la fois y et x, alors \mathbb{E}[u\mid x]\neq0 et l’estimateur MCO est biaisé — il capture, en partie, l’effet du facteur omis. C’est précisément ce que la régression multiple (chapitre 2) cherche à corriger en contrôlant explicitement pour davantage de facteurs.
Qualité de l’ajustement
Le R^2
En notant SST=\sum_i(y_i-\bar y)^2 (variation totale), SSE=\sum_i(\hat y_i-\bar y)^2 (variation expliquée) et SSR=\sum_i\hat u_i^2 (variation résiduelle), on a SST=SSE+SSR, d’où R^2 = \dfrac{SSE}{SST} = 1-\dfrac{SSR}{SST} \in[0,1]. R^2 mesure la proportion de la variation de y expliquée par x.
En coupe transversale, les R^2 sont souvent modestes (beaucoup de facteurs individuels inexpliqués), sans que cela invalide l’estimation de l’effet ceteris paribus recherché. Juger la qualité d’un modèle uniquement sur son R^2 est une erreur fréquente chez les débutants.
Formes fonctionnelles usuelles
Le modèle log-linéaire
Avec \log(y)=\beta_0+\beta_1 x+u, \beta_1\times100 s’interprète comme le pourcentage de variation de y pour une unité de plus de x (semi-élasticité) — utile quand l’effet de x sur y est mieux décrit en termes relatifs qu’en unités absolues.
\log(\text{salaire})=0{,}584+0{,}083\ \text{éduc}, R^2=0{,}186 : chaque année d’éducation supplémentaire est associée à une hausse d’environ 8{,}3\% du salaire — le fameux « rendement de l’éducation ». Notons que R^2 (18{,}6\%) porte ici sur \log(\text{salaire}), pas sur le salaire lui-même : les deux régressions ne sont pas directement comparables sur ce critère.
Le modèle log-linéaire est omniprésent en finance : les rendements eux-mêmes sont, par construction, des variations logarithmiques de prix (r_t=\log(P_t/P_{t-1})). Le modèle de marché de l’introduction (économétrie financière), R_i=\alpha_i+\beta_i R_M+\varepsilon_i, est une régression simple — et \beta_i s’interprète directement comme l’élasticité du rendement de l’actif au rendement du marché.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- MCO : minimise \sum\hat u_i^2, formules explicites \hat\beta_1=S_{xy}/S_{xx}, \hat\beta_0=\bar y-\hat\beta_1\bar x.
- Non-biais garanti sous SLR.1–SLR.4 ; SLR.4 (exogénéité de x) est l’hypothèse la plus fragile en pratique.
- R^2=SSE/SST mesure l’ajustement, mais ne doit pas être surinterprété.
- Le modèle log-linéaire donne une interprétation en pourcentage — la forme naturelle en finance, où l’on travaille en rendements.
Contrôler pour plusieurs facteurs à la fois, au lieu d’un seul, est le moyen le plus direct de rapprocher SLR.4 de la réalité. C’est l’objet de la régression multiple.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)