Économétrie avancée
Modèles à équations simultanées
- Présentation du cours
- Nature de l'économétrie et données économiques
- Le modèle de régression simple
- Régression multiple : estimation
- Régression multiple : inférence
- Régression multiple : propriétés asymptotiques des MCO
- Régression multiple : approfondissements
- Variables qualitatives (indicatrices)
- Hétéroscédasticité
- Problèmes de spécification et de données
- Introduction aux séries temporelles
- Séries temporelles — approfondissements
- Autocorrélation et hétéroscédasticité en séries temporelles
- Données de panel — méthodes simples
- Données de panel — méthodes avancées
- Variables instrumentales et doubles moindres carrés
- Modèles à équations simultanées
- Variables dépendantes limitées et sélection d'échantillon
- Sujets avancés en séries temporelles
- Réaliser un projet empirique
- Annexe A — Rappels d'outils mathématiques de base
- Annexe B — Rappels de probabilité
- Annexe C — Rappels de statistique mathématique
- Annexe D — Rappels d'algèbre matricielle
- Annexe E — Le modèle de régression linéaire sous forme matricielle
Économétrie avancée
Chapitre 15 : Modèles à équations simultanées
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
Variable omise et erreur de mesure (chapitre 8) ne sont pas les seules sources d’endogénéité. Quand y et un régresseur sont déterminés conjointement — typiquement par un mécanisme d’équilibre offre-demande — les MCO échouent structurellement. Ce chapitre montre comment reconnaître un système d’équations simultanées valide, et comment l’estimer par variables instrumentales.
Si x est corrélé à u dans y=\beta_0+\beta_1x+u, une variable instrumentale z — corrélée à x mais non à u — permet d’identifier \beta_1. Les doubles moindres carrés (2SLS) appliquent la procédure en deux étapes : (i) régresser x sur z et tous les régresseurs exogènes, retenir les valeurs ajustées \hat x ; (ii) régresser y sur \hat x et les régresseurs exogènes. Ce chapitre applique directement cet outil ; le traitement complet des variables instrumentales fera l’objet d’un chapitre ultérieur.
Les équations simultanées
Interprétation structurelle
Un modèle à équations simultanées (SEM) rassemble plusieurs équations dont chacune doit avoir une interprétation causale autonome — typiquement, le comportement de deux agents économiques distincts (offre des travailleurs vs demande des employeurs). Les variables déterminées à l’intérieur du système sont endogènes ; celles déterminées à l’extérieur sont exogènes.
h_t^s=\alpha_1 w_t+\beta_1 z_{1t}+u_{1t}\quad\text{(offre)},\qquad h_t^d=\alpha_2 w_t+\beta_2 z_{2t}+u_{2t}\quad\text{(demande)}, avec la condition d’équilibre h_t^s=h_t^d=h_t. z_1 (salaire manufacturier alternatif) et z_2 (surface agricole) sont des variables observées propres à chaque équation — c’est précisément ce qui permet de distinguer laquelle est l’offre et laquelle est la demande, et, comme on le verra, de les estimer séparément.
Interprétation structurelle (suite)
Demander « que se passerait-il si y_2 changeait de façon exogène, toutes choses égales par ailleurs ? » doit avoir un sens économique pour chaque équation. Un contre-exemple classique : modéliser dépenses de logement et épargne d’un même ménage comme un système simultané n’a pas de sens, car les deux décisions résultent du même problème de maximisation d’utilité — il n’existe pas de variable exogène propre à l’une qui n’affecte pas l’autre.
Le biais de simultanéité
Pourquoi les MCO échouent
Dans le système y_1=\alpha_1y_2+\beta_1z_1+u_1, y_2=\alpha_2y_1+\beta_2z_2+u_2 (avec \alpha_1\alpha_2\neq1), la forme réduite exprime y_2 en fonction des seules variables exogènes : y_2=\pi_{21}z_1+\pi_{22}z_2+v_2,\qquad v_2=\dfrac{\alpha_2u_1+u_2}{1-\alpha_1\alpha_2}. Puisque v_2 est fonction de u_1, y_2 est en général corrélé à u_1 — sauf cas particulier (\alpha_2=0 et u_1,u_2 non corrélées). C’est le biais de simultanéité.
Estimer murdpc=\alpha_1\,polpc+\dots+u_1 par MCO surestime généralement la corrélation positive : les villes réagissent à une criminalité élevée en augmentant leurs effectifs de police (polpc=\alpha_2\,murdpc+\dots+u_2, \alpha_2>0), ce qui contamine la relation observée. Le signe du biais se déduit de \operatorname{Cov}(y_2,u_1)\propto\alpha_2/(1-\alpha_1\alpha_2) : avec \alpha_2>0, l’effet dissuasif d’un renforcement policier est sous-estimé (biais vers zéro ou de signe opposé) par les MCO.
Identification et estimation
La condition de rang
Pour le système y_1=\beta_{10}+\alpha_1y_2+\mathbf z_1\boldsymbol\beta_1+u_1, y_2=\beta_{20}+\alpha_2y_1+\mathbf z_2\boldsymbol\beta_2+u_2 : la première équation est identifiée si et seulement si la seconde équation contient au moins une variable exogène (à coefficient non nul) exclue de la première. La condition d’ordre (au moins une variable exclue) est nécessaire ; la condition de rang (cette variable a un coefficient réellement non nul dans l’autre équation, testable par t ou F) est nécessaire et suffisante.
Si une variable exogène z_1 affecte l’offre mais pas la demande, faire varier z_1 déplace la courbe d’offre le long d’une courbe de demande fixe — ce qui trace la courbe de demande. Sans variable exogène propre à l’offre, rien ne permet de distinguer un déplacement de la demande d’un déplacement de l’offre : l’équation de demande reste non identifiée.
hours=\alpha_1\log(wage)+\beta_{11}educ+\beta_{12}age+\beta_{13}kidslt6+\beta_{14}nwifeinc+u_1, \log(wage)=\alpha_2\,hours+\beta_{21}educ+\beta_{22}exper+\beta_{23}exper^2+u_2. exper et exper^2, exclus de l’équation d’offre, servent d’instruments pour \log(wage). Estimée par 2SLS, \hat\alpha_1\approx1{,}640 (élasticité \approx1{,}26 aux heures moyennes) contre un coefficient MCO non significatif de -2{,}05 — un renversement complet de conclusion, cohérent avec le biais de simultanéité attendu.
Systèmes à plus de deux équations
La condition d’ordre se généralise : une équation est identifiée seulement si le nombre de variables exogènes exclues est au moins égal au nombre de variables endogènes à droite. Une équation est sur-identifiée si elle dispose de plus d’instruments que nécessaire (testable par le test de sur-identification), juste identifiée si le nombre correspond exactement, et non identifiée si aucune variable exogène n’est exclue.
SEM : temporel et panel
Variables prédéterminées
Une valeur retardée d’une variable endogène (Y_{t-1}) peut être traitée comme prédéterminée (donc utilisable comme instrument) si l’erreur structurelle courante lui est non corrélée — hypothèse plausible quand l’information disponible à t-1 ne peut être affectée par un choc survenant en t. C’est le principe exploité pour tester l’hypothèse du revenu permanent : les erreurs sont supposées non corrélées à toute l’information disponible à t-1, ce qui rend n’importe quelle variable retardée valide comme instrument.
Données de panel : différencier puis instrumenter
Pour y_{1it}=\alpha_1y_{2it}+\mathbf z_{1it}\boldsymbol\beta_1+a_i+u_{1it}, différencier élimine a_i : \Delta y_{1it}=\alpha_1\Delta y_{2it}+\Delta\mathbf z_{1it}\boldsymbol\beta_1+\Delta u_{1it}. Il faut alors un instrument pour \Delta y_{2it} — nécessairement une variable qui varie dans le temps, condition parfois difficile à satisfaire (l’expérience professionnelle, par exemple, augmente d’exactement une unité chaque année pour tout individu en emploi continu, donc \Delta exper_{it}=1 pour tous : elle ne peut servir d’instrument différencié).
Pour estimer l’effet causal de la population carcérale sur la criminalité, Levitt utilise des variables indicatrices de litiges de surpopulation carcérale comme instruments pour \Delta\log(prison) — un choc plausiblement exogène aux fluctuations de criminalité. L’estimation 2SLS (\hat\alpha\approx-1{,}02) diffère fortement de l’estimation MCO groupée (\hat\alpha\approx-.18), illustrant l’ampleur du biais de simultanéité dans la relation prison-criminalité brute.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Un SEM valide exige que chaque équation ait une interprétation causale autonome — le cas archétype étant offre et demande.
- La simultanéité corrèle un régresseur endogène à l’erreur, biaisant et rendant incohérents les MCO ; direction du biais généralement liée au signe du coefficient de rétroaction.
- Identification : au moins une variable exogène exclue de l’équation d’intérêt, avec coefficient réellement non nul dans l’autre équation (condition d’ordre + condition de rang) ; l’équation identifiée s’estime alors par 2SLS.
- Séries temporelles et panels permettent des instruments naturels (retards, différenciation + instruments variant dans le temps), au prix d’hypothèses supplémentaires sur l’exogénéité stricte des variables prédéterminées.
Ce chapitre a traité l’endogénéité provenant d’un système d’équations. Le chapitre suivant aborde un autre type de complication : les variables dépendantes limitées — binaires, censurées, ou observées seulement pour un sous-échantillon non aléatoire — qui exigent des modèles au-delà de la régression linéaire classique.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)