Économétrie avancée
Sujets avancés en séries temporelles
- Présentation du cours
- Nature de l'économétrie et données économiques
- Le modèle de régression simple
- Régression multiple : estimation
- Régression multiple : inférence
- Régression multiple : propriétés asymptotiques des MCO
- Régression multiple : approfondissements
- Variables qualitatives (indicatrices)
- Hétéroscédasticité
- Problèmes de spécification et de données
- Introduction aux séries temporelles
- Séries temporelles — approfondissements
- Autocorrélation et hétéroscédasticité en séries temporelles
- Données de panel — méthodes simples
- Données de panel — méthodes avancées
- Variables instrumentales et doubles moindres carrés
- Modèles à équations simultanées
- Variables dépendantes limitées et sélection d'échantillon
- Sujets avancés en séries temporelles
- Réaliser un projet empirique
- Annexe A — Rappels d'outils mathématiques de base
- Annexe B — Rappels de probabilité
- Annexe C — Rappels de statistique mathématique
- Annexe D — Rappels d'algèbre matricielle
- Annexe E — Le modèle de régression linéaire sous forme matricielle
Économétrie avancée
Chapitre 17 : Sujets avancés en séries temporelles
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
Le chapitre 9 a posé les bases des séries temporelles avec des retards finis. Ce chapitre franchit trois étapes supplémentaires : autoriser des retards infinis mais paramétrés, tester formellement si une série est intégrée (racine unitaire), et exploiter des relations de long terme entre séries non stationnaires (cointégration) sans tomber dans le piège de la régression fallacieuse. On termine par les fondements de la prévision.
Retards échelonnés infinis
Le modèle de Koyck
Un modèle IDL relie y_t à toute l’histoire de z : y_t=\alpha+\delta_0z_t+\delta_1z_{t-1}+\delta_2z_{t-2}+\dots+u_t, avec \delta_j\to0. Non estimable tel quel (nombre infini de paramètres), il exige une paramétrisation. Le retard géométrique (Koyck) pose \delta_j=\gamma\rho^j, |\rho|<1 : propension d’impact \gamma, propension de long terme \gamma/(1-\rho).
La différence pondérée y_t-\rho y_{t-1} élimine la somme infinie et donne y_t=\alpha_0+\gamma z_t+\rho y_{t-1}+u_t-\rho u_{t-1} — un modèle à variable dépendante retardée, mais dont l’erreur u_t-\rho u_{t-1} est en général corrélée à y_{t-1}, rendant les MCO incohérents sauf hypothèse supplémentaire (ex. u_t suit elle-même un AR(1) de même paramètre \rho, auquel cas le modèle redevient dynamiquement complet et les MCO conviennent).
Le modèle de Koyck (suite)
Sur les données HSEINV, le retard géométrique est nettement rejeté (le retard gprice_{t-1} ajouté est très significatif) au profit d’un retard rationnel plus flexible, qui ajoute un terme z_{t-1} à l’équation transformée. La propension de long terme diffère radicalement entre les deux spécifications (environ 4{,}7 pour le Koyck contre une valeur non significativement différente de zéro pour le rationnel) — illustration frappante du coût d’une dynamique mal spécifiée.
Tests de racine unitaire
Le test de Dickey-Fuller
Pour y_t=\alpha+\rho y_{t-1}+e_t, on teste H_0:\rho=1 (racine unitaire, I(1)) contre H_1:\rho<1 (I(0)) via la régression équivalente \Delta y_t=\alpha+\theta y_{t-1}+e_t, \theta=\rho-1, et le test t usuel sur \theta. Sous H_0, y_{t-1} est I(1) : la statistique t ne suit pas une loi normale asymptotique, mais la distribution de Dickey-Fuller, tabulée séparément (valeurs critiques plus négatives que -1{,}65, ex. -2{,}86 au seuil de 5 %).
Le test de Dickey-Fuller augmenté ajoute des retards de \Delta y_{t-j} pour blanchir l’autocorrélation résiduelle : \Delta y_t=\alpha+\theta y_{t-1}+\gamma_1\Delta y_{t-1}+\dots+e_t ; le test sur \theta reste inchangé. Pour une série manifestement tendancielle, ajouter un terme de tendance \delta t à la régression (test avec tendance) exige des valeurs critiques encore plus négatives (ex. -3{,}41 à 5 %), car détendre une série I(1) la rend artificiellement plus proche d’un processus I(0).
Le test de Dickey-Fuller (suite)
Sur données annuelles 1948–1996 (test ADF, un retard), la statistique t sur inf_{t-1} vaut -3{,}01, inférieure au seuil critique de 5 % (-2{,}86) : on rejette la racine unitaire pour l’inflation. À l’inverse, pour le log du PIB réel américain (test avec tendance), t=-2{,}41 ne permet pas de rejeter H_0 — conclusion classique mais fragile compte tenu de la faible puissance de ces tests en petit échantillon.
Régression fallacieuse
Le piège des séries I(1) indépendantes
Si \{x_t\} et \{y_t\} sont deux marches aléatoires indépendantes, régresser y_t sur x_t produit néanmoins une statistique t significative bien plus souvent que le seuil nominal (environ 66 % au lieu de 5 % pour n=50, et cela empire avec n). Le R^2 ne converge pas vers zéro mais vers une variable aléatoire. C’est la régression fallacieuse : aucune relation économique n’existe, mais l’inférence usuelle suggère le contraire.
Sous H_0:\beta_1=0, l’erreur du modèle en niveau doit être u_t=y_t lui-même — c’est-à-dire une marche aléatoire. Les hypothèses de Gauss-Markov asymptotiques (chapitre 10), qui exigent un processus d’erreur faiblement dépendant, sont violées de façon flagrante : aucune des propriétés usuelles des MCO (normalité asymptotique du t, convergence du R^2) ne tient.
Cointégration et correction
Une relation de long terme entre séries I(1)
Deux séries I(1), y_t et x_t, sont cointégrées s’il existe \beta\neq0 tel que y_t-\beta x_t soit I(0) — la combinaison linéaire ne dérive pas, malgré la non-stationnarité de chaque série prise isolément. \beta est le paramètre de cointégration. Test : régresser y_t sur x_t (MCO, consistant sous cointégration même si H_0 pose l’absence de cointégration), puis appliquer un test ADF aux résidus avec des valeurs critiques spécifiques (Engle-Granger), plus négatives que celles du test de racine unitaire standard.
Chaque taux pris séparément se comporte comme une série I(1) ; l’écart spr_t=r6_t-r3_t rejette fortement la racine unitaire (t=-7{,}71) : les deux taux sont cointégrés avec \beta\approx1. L’interprétation économique est un argument d’arbitrage — si l’écart se creusait durablement, les investisseurs déplaceraient leur demande jusqu’à le refermer.
Si y_t et x_t sont cointégrés de paramètre \beta, le terme s_{t-1}=y_{t-1}-\beta x_{t-1} (déviation de l’équilibre) peut entrer dans une équation en différences : \Delta y_t=\alpha+\gamma_0\Delta x_t+\theta\,(y_{t-1}-\beta x_{t-1})+u_t,\qquad \theta<0. Le coefficient \theta mesure la vitesse de retour à l’équilibre : si y a dépassé sa cible de long terme la période précédente, \Delta y_t est mécaniquement tiré vers le bas (et inversement). C’est la procédure en deux étapes d’Engle-Granger : estimer \beta par MCO en niveaux, puis estimer le MCE en substituant \hat\beta.
\Delta hy6_t=0{,}090+1{,}218\,\Delta hy3_{t-1}-0{,}840\,(hy6_{t-1}-hy3_{t-1})+u_t. Le coefficient de correction d’erreur, -0{,}840, n’est pas statistiquement différent de -1 : tout écart entre les deux rendements de détention est presque intégralement corrigé dès la période suivante, conformément à l’hypothèse des anticipations.
Prévision
Fondements
Pour prévoir y_{t+1} à partir de l’information I_t disponible en t, sous perte quadratique E(e_{t+1}^2\mid I_t), le prédicteur optimal est l’espérance conditionnelle E(y_{t+1}\mid I_t). Pour un processus à différence de martingale, cette espérance est simplement la moyenne inconditionnelle — le passé n’aide pas à prévoir le futur (approximation usuelle pour les rendements financiers).
Le modèle y_t=\delta_0+\alpha_1y_{t-1}+\gamma_1z_{t-1}+u_t évite d’avoir à prévoir z lui-même (contrairement au modèle statique en z_t contemporain). Généralisé à plusieurs séries, on obtient un modèle vectoriel autorégressif (VAR) : chaque variable est expliquée par ses propres retards et ceux des autres variables du système. Le test que z cause au sens de Granger y revient à tester la significativité jointe des retards de z dans l’équation de y, une fois les retards propres de y contrôlés.
« z cause y au sens de Granger » signifie seulement que le passé de z améliore la prévision de y au-delà du seul passé de y — cela ne dit rien sur une causalité contemporanée ni sur l’exogénéité de z dans une équation structurelle. Le terme est trompeur mais consacré par l’usage.
Évaluer la qualité d’une prévision
Un ajustement en échantillon élevé (R² ajusté) ne garantit pas une bonne performance prédictive. On réserve les m dernières observations pour comparer les prévisions \hat f_{n+h} aux valeurs réalisées : \mathrm{RMSE}=\left(m^{-1}\sum_{h}\hat e_{n+h}^2\right)^{1/2} et \mathrm{MAE}=m^{-1}\sum_h|\hat e_{n+h}|. On préfère le modèle qui minimise ces critères hors échantillon, pas nécessairement celui au meilleur R² en échantillon.
Un modèle AR(1) et un modèle ajoutant l’inflation retardée sont comparés hors échantillon (1990–1996, sept observations réservées). Le second modèle domine sur les deux critères (RMSE = 0{,}550 contre 0{,}632 ; MAE = 0{,}362 contre 0{,}515) : l’inflation retardée améliore la prévision, confirmant in fine le résultat de Granger-causalité obtenu en échantillon.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Les retards distribués infinis (Koyck, rationnels) modélisent une dynamique riche avec peu de paramètres, au prix d’hypothèses sur la structure des erreurs.
- Le test de Dickey-Fuller (et sa version augmentée) permet de tester formellement une racine unitaire, avec des valeurs critiques non standard.
- Régresser deux séries I(1) indépendantes en niveaux produit typiquement une régression fallacieuse — statistiquement significative sans contenu économique.
- La cointégration légitime les régressions en niveaux entre séries I(1) quand une combinaison linéaire est I(0) ; le modèle à correction d’erreur en tire une dynamique de court terme cohérente avec l’équilibre de long terme.
- La prévision optimale sous perte quadratique est l’espérance conditionnelle ; l’évaluation d’un modèle de prévision doit se faire hors échantillon (RMSE, MAE), pas seulement sur l’ajustement en échantillon.
Après avoir couvert la théorie économétrique de bout en bout, le chapitre suivant change de nature : il s’agit de méthodologie de recherche appliquée — comment structurer, documenter et présenter un projet empirique en économétrie.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)