Économétrie avancée
Régression multiple : propriétés asymptotiques des MCO
- Présentation du cours
- Nature de l'économétrie et données économiques
- Le modèle de régression simple
- Régression multiple : estimation
- Régression multiple : inférence
- Régression multiple : propriétés asymptotiques des MCO
- Régression multiple : approfondissements
- Variables qualitatives (indicatrices)
- Hétéroscédasticité
- Problèmes de spécification et de données
- Introduction aux séries temporelles
- Séries temporelles — approfondissements
- Autocorrélation et hétéroscédasticité en séries temporelles
- Données de panel — méthodes simples
- Données de panel — méthodes avancées
- Variables instrumentales et doubles moindres carrés
- Modèles à équations simultanées
- Variables dépendantes limitées et sélection d'échantillon
- Sujets avancés en séries temporelles
- Réaliser un projet empirique
- Annexe A — Rappels d'outils mathématiques de base
- Annexe B — Rappels de probabilité
- Annexe C — Rappels de statistique mathématique
- Annexe D — Rappels d'algèbre matricielle
- Annexe E — Le modèle de régression linéaire sous forme matricielle
Économétrie avancée
Chapitre 4 : Régression multiple — propriétés asymptotiques des MCO
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
Les résultats du chapitre 3 (tests t et F exacts) reposent sur l’hypothèse de normalité MLR.6 — rarement vérifiée exactement. Ce chapitre montre que l’essentiel de l’inférence survit sans cette hypothèse, à condition que l’échantillon soit suffisamment grand : c’est le domaine des propriétés asymptotiques, c’est-à-dire valables quand n\to\infty.
Convergence
Un critère plus faible que le non-biais
Un estimateur \hat\beta_j est convergent (consistant) si \hat\beta_j\xrightarrow{p}\beta_j quand n\to\infty : la probabilité que \hat\beta_j s’écarte de \beta_j tend vers zéro à mesure que l’échantillon grandit. Sous MLR.1–4, les MCO sont non biaisés et donc convergents ; mais la convergence peut aussi être établie sous une hypothèse plus faible que MLR.4 — la simple absence de corrélation entre u et chaque régresseur, plutôt que l’espérance conditionnelle nulle.
Le non-biais est une propriété à taille d’échantillon fixée ; la convergence est une propriété quand n grandit. Un estimateur peut être biaisé à taille finie tout en étant convergent (le biais s’atténue avec n) — un cas fréquent pour des estimateurs non linéaires (par exemple, le maximum de vraisemblance d’un modèle GARCH, chapitre 3 du cours d’économétrie financière).
Normalité asymptotique
Se passer de MLR.6
Sous MLR.1 à MLR.5 (sans MLR.6), et pour n suffisamment grand, le théorème central limite (chapitre 6, statistiques) implique \sqrt{n}\,(\hat\beta_j-\beta_j) \ \xrightarrow{d}\ \mathcal{N}\big(0,\ \sigma^2_{a_j}\big), de sorte que les statistiques t et F du chapitre 3 restent approximativement valides en grand échantillon, même si u n’est pas exactement normal.
Se passer de MLR.6 (suite)
Se passer de MLR.6 (suite 2)
En pratique, les termes d’erreur ne sont jamais parfaitement normaux. La normalité asymptotique rassure : dès que l’échantillon est raisonnablement grand (règle empirique : quelques dizaines à quelques centaines d’observations selon le contexte), l’inférence usuelle (tests t, F, intervalles de confiance) reste approximativement fiable, sans devoir supposer MLR.6.
Efficacité asymptotique
Sous les hypothèses de Gauss-Markov (MLR.1–5) et des conditions techniques additionnelles sur les moments de u, l’estimateur MCO est asymptotiquement efficace : parmi une large classe d’estimateurs (pas seulement les estimateurs linéaires, comme pour le théorème de Gauss-Markov à taille finie), aucun n’a, en grand échantillon, une variance asymptotique plus faible.
Le test du multiplicateur de Lagrange
Le test du multiplicateur de Lagrange (test LM, ou score test) offre une autre façon de tester des restrictions d’exclusion, asymptotiquement équivalente au test F : on régresse les résidus du modèle contraint sur tous les régresseurs (contraints et exclus), et LM=n\times R^2_{\text{aux}} suit approximativement un \chi^2_q sous H_0 (q = nombre de restrictions). Il est particulièrement pratique quand ré-estimer le modèle non contraint est coûteux.
Toute l’économétrie financière des chapitres précédents s’appuie sur ces résultats asymptotiques : l’estimation par maximum de vraisemblance d’un modèle GARCH (chapitre 3) n’est justifiée que par ses propriétés en grand échantillon (convergence, normalité asymptotique) ; les tests de racine unitaire de type Dickey-Fuller utilisés pour la cointégration (chapitre 4) ont des distributions non standard, tabulées par simulation, précisément parce qu’on est à la frontière de la théorie asymptotique classique. La disponibilité de séries financières longues (rendements quotidiens sur plusieurs années, soit plusieurs milliers d’observations) est ce qui rend ces méthodes praticables.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Convergence : \hat\beta_j\xrightarrow{p}\beta_j, propriété plus faible et plus générale que le non-biais.
- Sous MLR.1–5 (sans MLR.6), les MCO sont asymptotiquement normaux : tests t/F approximativement valides en grand échantillon.
- L’estimateur MCO est asymptotiquement efficace sous Gauss-Markov.
- Le test LM offre une alternative asymptotique au test F, utile quand le modèle non contraint est coûteux à estimer.
Ces cinq chapitres posent les fondations théoriques — estimation, inférence exacte et asymptotique — sur lesquelles reposent tous les modèles plus spécialisés du bloc économétrie financière (facteurs, GARCH, cointégration) déjà vus, et ceux à venir dans les prochains chapitres de ce bloc (variables instrumentales, données de panel).
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)