Économétrie avancée
Hétéroscédasticité
- Présentation du cours
- Nature de l'économétrie et données économiques
- Le modèle de régression simple
- Régression multiple : estimation
- Régression multiple : inférence
- Régression multiple : propriétés asymptotiques des MCO
- Régression multiple : approfondissements
- Variables qualitatives (indicatrices)
- Hétéroscédasticité
- Problèmes de spécification et de données
- Introduction aux séries temporelles
- Séries temporelles — approfondissements
- Autocorrélation et hétéroscédasticité en séries temporelles
- Données de panel — méthodes simples
- Données de panel — méthodes avancées
- Variables instrumentales et doubles moindres carrés
- Modèles à équations simultanées
- Variables dépendantes limitées et sélection d'échantillon
- Sujets avancés en séries temporelles
- Réaliser un projet empirique
- Annexe A — Rappels d'outils mathématiques de base
- Annexe B — Rappels de probabilité
- Annexe C — Rappels de statistique mathématique
- Annexe D — Rappels d'algèbre matricielle
- Annexe E — Le modèle de régression linéaire sous forme matricielle
Économétrie avancée
Chapitre 7 : Hétéroscédasticité
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
L’hypothèse MLR.5 (homoscédasticité) n’a jamais servi à établir le non-biais ni la convergence des MCO — mais elle est indispensable à la validité des tests t et F usuels (chapitre 3). Que faire quand la variance de l’erreur dépend des régresseurs, comme c’est presque toujours le cas avec des données individuelles (ménages, firmes, actifs) ?
L’hétéroscédasticité, effets
Ce qui reste vrai, ce qui casse
L’hétéroscédasticité — \operatorname{Var}(u\mid x) non constante — ne biaise pas et ne rend pas incohérents les estimateurs MCO (MLR.1–4 suffisent). En revanche, les formules usuelles de \operatorname{Var}(\hat\beta_j) deviennent fausses : les statistiques t et F usuelles ne suivent plus leurs lois de référence, même asymptotiquement, et le théorème de Gauss-Markov (MCO = BLUE) ne s’applique plus.
Il est essentiel de bien situer le problème : les coefficients estimés restent des estimateurs valides de l’effet moyen ; ce sont leurs erreurs-types, et donc la significativité qu’on leur attribue, qui deviennent trompeuses en présence d’hétéroscédasticité non corrigée.
Erreurs-types robustes
La correction de White
Sans supposer de forme particulière à \operatorname{Var}(u_i\mid x_i)=\sigma_i^2, on peut estimer \operatorname{Var}(\hat\beta_j) de façon convergente à partir des résidus MCO au carré \hat u_i^2 : \widehat{\operatorname{Var}}(\hat\beta_j)=\dfrac{\sum_i \hat r_{ij}^2\,\hat u_i^2}{SSR_j^2}, où \hat r_{ij} est le résidu de la régression de x_j sur tous les autres régresseurs. La racine carrée donne l’erreur-type robuste, valable asymptotiquement que l’hétéroscédasticité soit présente ou non.
Dans une équation de \log(wage) avec indicatrices croisées de genre/statut marital, l’erreur-type usuelle sur educ est .0067 contre .0074 en robuste — un écart modeste qui ne change aucune conclusion de significativité. Ce n’est pas toujours le cas : les deux versions peuvent diverger fortement, dans un sens comme dans l’autre.
Sous MLR.1–6 (normalité incluse), les statistiques t usuelles sont exactes à tout n ; les versions robustes ne sont justifiées qu’asymptotiquement et peuvent mal se comporter en petit échantillon. En pratique, avec de grands échantillons en coupe transversale, reporter systématiquement les erreurs-types robustes est devenu la norme.
Des versions robustes des statistiques F (test de Wald robuste) et LM existent également, et se calculent par la même logique — remplacer la variance homoscédastique par une estimation empirique fondée sur \hat u_i^2.
Détecter l’hétéroscédasticité
Le test de Breusch-Pagan
On teste H_0:\operatorname{Var}(u\mid x)=\sigma^2 en régressant \hat u_i^2 sur les régresseurs originaux : \hat u_i^2 = \delta_0+\delta_1x_{i1}+\dots+\delta_kx_{ik}+\text{erreur}, puis on teste la significativité globale par F ou par LM=n\,R^2_{\hat u^2}\sim\chi^2_k sous H_0. Un rejet indique une variance de l’erreur liée aux régresseurs.
En niveau, \widehat{price}=f(lotsize,sqrft,bdrms) donne R^2_{\hat u^2}=.160, soit F\approx5.34 (p=.002) : hétéroscédasticité nette. En passant price, lotsize et sqrft en logarithme, R^2_{\hat u^2} tombe à .048 (p=.245) : on ne rejette plus l’homoscédasticité. C’est une illustration directe d’un point du chapitre 5 — la forme logarithmique réduit souvent l’hétéroscédasticité.
Le test de White
Le test de White ajoute au test BP les carrés et produits croisés de tous les régresseurs — plus général, mais coûteux en degrés de liberté. Une version économe régresse plutôt \hat u_i^2 sur les valeurs ajustées \hat y_i et \hat y_i^2 : \hat u_i^2=\delta_0+\delta_1\hat y_i+\delta_2\hat y_i^2+\text{erreur}, avec toujours 2 degrés de liberté quel que soit le nombre de régresseurs originaux — un cas particulier du test de White complet.
Un rejet du test d’hétéroscédasticité peut en réalité signaler une mauvaise forme fonctionnelle (terme quadratique omis, niveau au lieu du log) plutôt qu’une véritable hétéroscédasticité. Il vaut mieux traiter la spécification fonctionnelle en premier (chapitre 8) et ne tester l’hétéroscédasticité qu’une fois la forme du modèle jugée satisfaisante.
Moindres carrés pondérés
Hétéroscédasticité connue à une constante près
Si \operatorname{Var}(u\mid x)=\sigma^2h(x) avec h(x)>0 connue, diviser toute l’équation par \sqrt{h_i} donne une équation transformée à erreur homoscédastique, estimable par MCO — ce sont les moindres carrés généralisés (MCG), ou, de façon équivalente, les moindres carrés pondérés (MCP) avec poids 1/h_i : \min_b \sum_i \dfrac{(y_i-b_0-b_1x_{i1}-\dots-b_kx_{ik})^2}{h_i}. Sous les hypothèses de Gauss-Markov appliquées à l’équation transformée, l’estimateur MCG est BLUE — strictement plus efficace que les MCO.
L’intuition des MCP : une observation dont l’erreur a une grande variance est peu informative et doit peser moins dans l’ajustement. Les MCO, en donnant un poids égal à toutes les observations, gaspillent de l’information disponible dès que h(x) varie.
Quand on ne dispose que de moyennes par groupe (firme, ville, pays) d’un modèle individuel homoscédastique, l’équation agrégée hérite mécaniquement d’une hétéroscédasticité en \sigma^2/m_i (m_i = taille du groupe) : les MCP avec poids m_i (taille de population, nombre de salariés) sont alors la correction naturelle — un cas fréquent en macro-panel ou en données par pays pondérées par la population.
Hétéroscédasticité à estimer : les MCG faisables
Quand h(x) est inconnue, on la modélise (par exemple \operatorname{Var}(u\mid x)=\sigma^2\exp(\delta_0+\delta_1x_1+\dots+\delta_kx_k), qui garantit une variance positive) puis on l’estime en quatre étapes : (i) régression MCO de y sur les x_j, résidus \hat u_i ; (ii) régression de \log(\hat u_i^2) sur les x_j, valeurs ajustées \hat g_i ; (iii) poids \hat h_i=\exp(\hat g_i) ; (iv) MCP avec ces poids estimés. L’estimateur FGLS n’est plus exactement non biaisé, mais reste convergent et asymptotiquement plus efficace que les MCO.
Le test BP rejette fortement l’homoscédasticité (LM=32.3, p<.00002). En FGLS, le coefficient sur \log(income) devient significatif et plus élevé qu’en MCO (1.30 contre 0.88) — signe que les MCO, en pondérant également des observations très bruitées, masquaient une partie de l’effet.
Un écart important et de signe opposé entre estimations MCO et FGLS n’est généralement pas dû à l’hétéroscédasticité elle-même, mais suggère une violation plus grave — typiquement E(u\mid x)\neq0 (endogénéité). Les deux estimateurs sont alors biaisés, de façon différente ; ce diagnostic informel doit alerter avant d’adopter aveuglément le résultat FGLS.
Retour sur la proba. linéaire
Une hétéroscédasticité de forme connue
Dans le modèle de probabilité linéaire (chapitre 6), \operatorname{Var}(y\mid x)=p(x)[1-p(x)] est de forme connue : on peut estimer les poids par \hat h_i=\hat y_i(1-\hat y_i) à partir des valeurs ajustées MCO, puis appliquer les MCP directement, sans étape FGLS intermédiaire.
Le MCP échoue dès qu’une valeur ajustée sort de [0,1], ce qui rend \hat h_i négatif — situation fréquente avec des probabilités de succès faibles ou beaucoup d’observations. En pratique, il est le plus souvent plus simple et plus robuste de conserver les MCO avec erreurs-types robustes plutôt que de forcer des MCP délicats à mettre en œuvre.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- L’hétéroscédasticité ne biaise pas les MCO mais invalide l’inférence usuelle ; les erreurs-types robustes de White corrigent ce problème sans connaître la forme de l’hétéroscédasticité.
- Le test de Breusch-Pagan (et sa généralisation, le test de White) détectent l’hétéroscédasticité en régressant les résidus au carré sur les régresseurs (ou sur \hat y,\hat y^2).
- Les moindres carrés pondérés (MCG/MCP), et leur version faisable FGLS, restaurent l’efficacité en donnant moins de poids aux observations les plus bruitées — au prix de devoir modéliser la variance.
- Le modèle de probabilité linéaire a une hétéroscédasticité de forme connue, mais son application pratique en MCP est limitée par les valeurs ajustées hors [0,1].
L’hétéroscédasticité n’est qu’une des façons dont un modèle peut s’écarter des hypothèses idéales. Le chapitre suivant élargit la focale : mauvaise forme fonctionnelle, variables proxy, erreurs de mesure, données manquantes et valeurs aberrantes — autant de problèmes de spécification et de données à diagnostiquer avant de faire confiance à une régression.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
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