Économétrie avancée
Variables dépendantes limitées et sélection d’échantillon
- Présentation du cours
- Nature de l'économétrie et données économiques
- Le modèle de régression simple
- Régression multiple : estimation
- Régression multiple : inférence
- Régression multiple : propriétés asymptotiques des MCO
- Régression multiple : approfondissements
- Variables qualitatives (indicatrices)
- Hétéroscédasticité
- Problèmes de spécification et de données
- Introduction aux séries temporelles
- Séries temporelles — approfondissements
- Autocorrélation et hétéroscédasticité en séries temporelles
- Données de panel — méthodes simples
- Données de panel — méthodes avancées
- Variables instrumentales et doubles moindres carrés
- Modèles à équations simultanées
- Variables dépendantes limitées et sélection d'échantillon
- Sujets avancés en séries temporelles
- Réaliser un projet empirique
- Annexe A — Rappels d'outils mathématiques de base
- Annexe B — Rappels de probabilité
- Annexe C — Rappels de statistique mathématique
- Annexe D — Rappels d'algèbre matricielle
- Annexe E — Le modèle de régression linéaire sous forme matricielle
Économétrie avancée
Chapitre 16 : Variables dépendantes limitées et sélection d’échantillon
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
Le modèle de probabilité linéaire (chapitre 6) traite y binaire comme n’importe quelle variable continue — avec des probabilités prédites parfois hors de [0,1]. Beaucoup d’autres variables économiques sont limitées de façon similaire : nulles pour une fraction de la population (dépenses caritatives), dénombrées (nombre d’arrestations), censurées (durées suivies jusqu’à une date fixe) ou observées seulement pour un sous-échantillon non aléatoire (salaire offert, non observé pour les inactifs). Ce chapitre présente les modèles non linéaires — logit, probit, Tobit, Poisson, régression censurée/tronquée, correction de Heckman — conçus pour ces situations.
Logit et probit
Au-delà du modèle linéaire de probabilité
Pour y\in\{0,1\}, on remplace P(y=1\mid x)=\beta_0+x\boldsymbol\beta (MPL) par P(y=1\mid x)=G(\beta_0+x\boldsymbol\beta),\qquad 0<G(z)<1\ \ \forall z, ce qui garantit des probabilités toujours comprises entre 0 et 1. Le modèle logit prend G(z)=\Lambda(z)=e^z/(1+e^z) (cdf logistique) ; le modèle probit prend G(z)=\Phi(z), la cdf de la loi normale centrée réduite. Les deux fonctions sont croissantes, en forme de S, et quasi indiscernables graphiquement.
Logit et probit se déduisent d’un modèle à variable latente y^*=\beta_0+x\boldsymbol\beta+e, y=\mathbb 1[y^*>0], où e suit une loi logistique ou normale standard indépendante de x. Le signe de \beta_j indique le sens de l’effet sur y^* — et donc sur P(y=1\mid x) — mais y^* n’a pas d’unité de mesure interprétable ; seuls les effets marginaux sur la probabilité sont économiquement significatifs.
Estimation et effets marginaux
La densité conditionnelle est f(y\mid x;\boldsymbol\beta)=[G(x\boldsymbol\beta)]^y[1-G(x\boldsymbol\beta)]^{1-y}, d’où la log-vraisemblance individuelle \ell_i(\boldsymbol\beta)=y_i\log G(x_i\boldsymbol\beta)+(1-y_i)\log[1-G(x_i\boldsymbol\beta)]. L’estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) qui maximise \sum_i\ell_i est consistant, asymptotiquement normal et asymptotiquement efficace sous conditions de régularité usuelles ; les tests t, de Wald et du rapport de vraisemblance (LR=2(\ell_{ur}-\ell_r)\sim\chi^2_q) s’appliquent comme au chapitre 4.
Estimation et effets marginaux (suite)
Estimation et effets marginaux (suite 2)
Pour x_j continue, \dfrac{\partial p(x)}{\partial x_j}=g(\beta_0+x\boldsymbol\beta)\beta_j, où g=G' est une densité. Le signe de l’effet est toujours celui de \beta_j, mais son ampleur dépend de x — contrairement au MPL. En pratique on évalue g(\cdot) aux valeurs moyennes des régresseurs ; pour x_j binaire, l’effet exact est la différence G(\ldots,x_j{=}1,\ldots)-G(\ldots,x_j{=}0,\ldots).
Sur les données MROZ, MCO (MPL), logit et probit s’accordent sur les signes et la significativité : kidslt6 réduit fortement la probabilité de travailler. À la moyenne de l’échantillon, un enfant de moins de six ans fait chuter la probabilité estimée de participation d’environ 0{,}33 (calcul probit exact), contre un coefficient MPL brut de -0{,}262 — l’écart illustre les rendements décroissants qu’implique la forme en S, absents du modèle linéaire.
Le modèle Tobit
Solutions en coin
Le modèle Tobit s’applique à y continue sur les valeurs strictement positives mais nulle avec probabilité non négligeable (dépenses caritatives, heures travaillées, montant investi en actions). Formellement, y^*=\beta_0+x\boldsymbol\beta+u, u\mid x\sim\mathcal N(0,\sigma^2), et y=\max(0,y^*). La vraisemblance combine une masse ponctuelle en y=0, P(y=0\mid x)=1-\Phi(x\boldsymbol\beta/\sigma), et une densité continue pour y>0.
Estimer par MCO uniquement sur les observations positives revient à conditionner sur y^*>0, ce qui corrèle le terme d’erreur retenu à x (troncature) : les MCO sont incohérents. Estimer par MCO sur l’échantillon complet, en traitant les zéros comme des observations ordinaires, est également incohérent car E(y\mid x) n’est pas linéaire en x\boldsymbol\beta.
Interprétation : deux espérances distinctes
E(y\mid y>0,x)=x\boldsymbol\beta+\sigma\lambda(x\boldsymbol\beta/\sigma),\qquad E(y\mid x)=\Phi(x\boldsymbol\beta/\sigma)\,E(y\mid y>0,x), où \lambda(c)=\phi(c)/\Phi(c) est le ratio inverse de Mills. Les effets partiels de x_j sur ces deux espérances ne sont pas simplement \beta_j : chacun est multiplié par un facteur d’ajustement strictement compris entre 0 et 1, qui dépend de x\boldsymbol\beta/\sigma. Remarquablement, \partial E(y\mid x)/\partial x_j=\beta_j\,\Phi(x\boldsymbol\beta/\sigma) — le facteur le plus simple des trois.
Sur 753 femmes mariées (325 avec zéro heure), le coefficient Tobit sur kidslt6 (-894) est environ le double du coefficient MCO (-442) — comparaison trompeuse en valeur brute. Une fois multiplié par le facteur d’ajustement pertinent (\approx0{,}451 pour l’espérance conditionnelle à y>0), l’effet Tobit redevient comparable en ordre de grandeur à l’estimation MCO, confirmant que le Tobit “moyenne” implicitement la décision de participer et la décision du volume d’heures.
La régression de Poisson
Variables de comptage
Pour y\in\{0,1,2,\dots\} (nombre d’arrestations, de brevets déposés, d’enfants), on spécifie E(y\mid x)=\exp(\beta_0+x\boldsymbol\beta), garantissant des prédictions positives. Comme \log E(y\mid x)=\beta_0+x\boldsymbol\beta, les \beta_j s’interprètent en semi-élasticité — exactement comme dans un modèle linéaire pour \log(y) : 100\beta_j est approximativement le pourcentage de variation de E(y\mid x) pour une hausse d’une unité de x_j ; l’effet exact discret est \exp(\beta_j)-1.
Sous la loi de Poisson, P(y=h\mid x)=\dfrac{e^{-\exp(x\boldsymbol\beta)}[\exp(x\boldsymbol\beta)]^h}{h!}, d’où une log-vraisemblance simple à maximiser. La loi de Poisson impose \mathrm{Var}(y\mid x)=E(y\mid x) ; en pratique la variance excède souvent la moyenne (surdispersion). L’EMV de Poisson reste néanmoins consistant même si cette égalité échoue (quasi-maximum de vraisemblance, QMLE) ; il suffit de corriger les erreurs-types par un facteur \hat\sigma=\sqrt{\hat\sigma^2} estimé à partir des résidus standardisés.
Variables de comptage (suite)
Sur 2 725 jeunes hommes (1 970 avec zéro arrestation), le coefficient de Poisson sur pcnv (proportion de condamnations antérieures) implique qu’une hausse de 0{,}10 de ce taux réduit le nombre attendu d’arrestations d’environ 4 %. L’estimation de \hat\sigma\approx1{,}23 signale une surdispersion modérée : les erreurs-types Poisson brutes doivent être gonflées d’environ 23 % pour rester valides.
Censure et troncature
Deux problèmes de données distincts
La régression censurée conserve toutes les observations, y compris celles pour lesquelles y n’est connu qu’au-delà (ou en-deçà) d’un seuil c_i : w_i=\min(y_i,c_i) — typiquement un plafonnement (top coding) ou une durée suivie jusqu’à une date de fin d’étude. La régression tronquée exclut entièrement de l’échantillon les unités situées au-delà du seuil : on n’observe ni y_i ni x_i pour ces unités. Les deux problèmes se traitent par maximum de vraisemblance sous normalité, mais la troncature perd strictement plus d’information.
Tronquer un échantillon en excluant les valeurs élevées de y (ex. : ménages au revenu supérieur à un plafond exclus d’une étude) aplatit la droite de régression estimée par rapport à la vraie droite de population : les MCO sur l’échantillon tronqué sont biaisés vers zéro. La régression censurée, elle, exploite l’information selon laquelle y_i\geq c_i même quand la valeur exacte est inconnue — d’où des estimations nettement plus fiables lorsque la censure est importante.
Sur 1 445 détenus libérés, 893 durées jusqu’à la prochaine arrestation sont censurées (aucune récidive observée pendant la période de suivi, 62 % de l’échantillon). La régression censurée sur \log(\text{durée}) montre que chaque condamnation antérieure supplémentaire réduit la durée attendue avant réarrestation d’environ 14 % ; ignorer la censure et appliquer les MCO sur les seules durées observées écrase fortement ces coefficients vers zéro.
Correction de sélection
Sélection exogène versus endogène
Soit s_i=1 si l’observation i est retenue, 0 sinon. Régresser y sur x sur le sous-échantillon \{s_i=1\} équivaut à régresser s_iy_i sur s_ix_i sur l’échantillon complet. Les MCO restent consistants si E(s\,u\mid s\,x_1,\dots,s\,x_k)=0 — condition satisfaite dès lors que la sélection s ne dépend que des régresseurs exogènes (\textbf{sélection exogène}) ou d’un tirage indépendant de u. La sélection est endogène, et les MCO incohérents, dès que s dépend directement de u — c’est le cas typique de la troncature sur y.
La méthode de Heckman (Heckit)
Pour le modèle d’intérêt y=x\boldsymbol\beta+u observé seulement si s=1, avec s=\mathbb 1[z\boldsymbol\gamma+v\geq0] et (u,v) bivariée normale, on montre que E(y\mid z,s=1)=x\boldsymbol\beta+\rho\,\lambda(z\boldsymbol\gamma). La méthode de Heckman en deux étapes : (i) estimer \boldsymbol\gamma par probit de s sur z (échantillon complet), calculer \hat\lambda_i=\lambda(z_i\hat{\boldsymbol\gamma}) ; (ii) régresser y sur x et \hat\lambda sur le sous-échantillon sélectionné. Le test t sur \hat\lambda teste H_0:\rho=0 (absence de biais de sélection). La procédure exige idéalement au moins une variable de z absente de x — sinon \hat\lambda est presque colinéaire avec x.
Sur MROZ, l’équation de \log(\text{salaire}) estimée sur les 428 femmes actives donne un coefficient d’éducation de 0{,}108 (MCO) contre 0{,}109 (Heckit) — pratiquement identique. Le coefficient sur \hat\lambda est non significatif (t=0{,}239) : rien n’indique de biais de sélection important pour cette relation, une fois contrôlé par éducation et expérience.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Logit et probit corrigent les défauts du MPL (probabilités hors [0,1], effets constants) au prix d’une interprétation plus lourde ; estimation par maximum de vraisemblance.
- Le Tobit modélise des solutions en coin (y\geq0 avec masse en zéro) ; les effets partiels sur E(y\mid x) et E(y\mid y>0,x) diffèrent des coefficients bruts par des facteurs d’ajustement non linéaires.
- La régression de Poisson (et son extension QMLE) traite les variables de comptage ; interprétation en semi-élasticités, correction de surdispersion.
- Censure et troncature sont deux problèmes de données distincts ; la censure conserve plus d’information et produit des estimations plus fiables.
- La sélection d’échantillon ne biaise les MCO que si elle est endogène ; la méthode de Heckman (probit puis régression augmentée du ratio inverse de Mills) permet de tester et corriger ce biais.
Après les modèles pour variables limitées en coupe transversale, le chapitre suivant revient aux séries temporelles pour des sujets avancés : dynamique de court terme via les modèles à correction d’erreur, tests de racine unitaire, et estimation de systèmes avec variables prédéterminées.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)