Modélisation ARMA des rentabilités financières
Les tests de racine unitaire
- Présentation du cours
- Variable aléatoire et processus stochastique
- La stationnarité
- Le bruit blanc
- L'opérateur retard et l'écriture polynomiale
- Les processus autorégressifs AR(p)
- Les processus de moyenne mobile MA(q)
- Les processus mixtes ARMA(p,q)
- Conditions de stationnarité et d'inversibilité
- Les tests de racine unitaire
- Espérance, variance et fonction d'autocovariance
- Autocorrélation, autocorrélogramme et mémoire
- Box et Jenkins : l'identification
- Le choix du modèle par les critères d'information
- L'estimation : moindres carrés et maximum de vraisemblance
- La validation, et ce que les résidus révèlent
- La prévision : ponctuelle, par intervalle, par densité
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
Modélisation ARMA des rentabilités financières
Chapitre 8 : Les tests de racine unitaire
Avant de commencer
Du critère théorique au test
Le chapitre 7 a donné la condition : toutes les racines hors du cercle unité. Mais les \alpha_i ne sont pas connus — on ne dispose que d’estimations. Il faut donc tester la présence d’une racine unitaire, et non la constater.
Sous H_0 de racine unitaire, la série n’est pas stationnaire. Les résultats asymptotiques habituels tombent : la statistique de Student ne suit plus une loi de Student, même pour T très grand. Il faudra des tables spéciales.
Le test de Dickey-Fuller
L’idée
Partons d’un AR(1) sans constante :
y_t = \alpha\,y_{t-1} + \varepsilon_t .
Tester \alpha = 1 revient, en retranchant y_{t-1} des deux côtés, à tester \varphi = 0 dans
\Delta y_t = \varphi\,y_{t-1} + \varepsilon_t, \qquad \varphi = \alpha - 1 .
H_0 : \varphi = 0 \ \ (\text{racine unitaire, série } I(1)) \qquad \text{contre} \qquad H_1 : \varphi < 0 \ \ (\text{stationnaire}).
Les trois spécifications
- Sans constante ni tendance : \Delta y_t = \varphi\,y_{t-1} + \varepsilon_t
- Avec constante : \Delta y_t = \theta + \varphi\,y_{t-1} + \varepsilon_t
- Avec constante et tendance : \Delta y_t = \theta + \delta\,t + \varphi\,y_{t-1} + \varepsilon_t
Le modèle doit contenir les composantes déterministes présentes sous H_1. Une série qui oscille autour d’une moyenne non nulle exige le modèle 2 ; une série avec tendance visible, le modèle 3.
Se tromper coûte cher : omettre une constante nécessaire fait perdre presque toute la puissance du test.
Pourquoi les tables usuelles ne valent pas
Sous H_0, la statistique \tau = \frac{\hat{\varphi}}{\hat{\sigma}_{\hat{\varphi}}} ne suit pas une loi de Student, mais une loi non standard, tabulée par simulation (Dickey et Fuller, 1979).
| Spécification | Valeur critique | Student |
|---|---|---|
| sans constante | -1{,}95 | -1{,}65 |
| avec constante | -2{,}86 | -1{,}65 |
| avec tendance | -3{,}41 | -1{,}65 |
Employer -1{,}65 conduirait à rejeter la racine unitaire beaucoup trop souvent.
Pourquoi les tables usuelles ne valent pas (suite)
Sous H_0, la variance de y_{t-1} croît avec t. Le régresseur n’est plus stationnaire, la théorie asymptotique classique ne s’applique plus, et \hat\varphi converge à la vitesse T au lieu de \sqrt{T} — on parle de convergence super-consistante.
Le test augmenté (ADF)
Le problème du test simple
Le test de Dickey-Fuller suppose que \varepsilon_t est un bruit blanc. Si la série contient une dynamique ARMA, les résidus sont autocorrélés, et le test est biaisé.
La correction
On ajoute des différences retardées, en nombre suffisant pour blanchir le résidu : \Delta y_t = \theta + \delta\,t + \varphi\,y_{t-1} + \sum_{i=1}^{k}\lambda_i\,\Delta y_{t-i} + \varepsilon_t . On teste toujours H_0 : \varphi = 0, avec les mêmes valeurs critiques.
Trop petit : les résidus restent autocorrélés, le test est faussé. Trop grand : on perd de la puissance. En pratique on retient le k qui minimise l’AIC ou le BIC, ou la règle de Schwert k_{\max} = \lfloor 12(T/100)^{1/4}\rfloor, puis on retire les retards non significatifs.
Le test de Phillips-Perron
Une autre façon de traiter le problème
Plutôt que d’ajouter des retards, on estime la régression simple de Dickey-Fuller et l’on corrige la statistique elle-même, au moyen d’un estimateur non paramétrique de la variance de long terme des résidus (Newey-West).
ADF modélise l’autocorrélation résiduelle en l’absorbant dans la régression. Phillips-Perron la laisse et corrige le résultat après coup. Les valeurs critiques sont identiques ; les conclusions coïncident le plus souvent.
Phillips-Perron est plus robuste à l’hétéroscédasticité — argument sérieux en finance. Mais il se comporte mal en présence d’une composante MA fortement négative, où il rejette beaucoup trop. ADF reste le test de référence ; PP sert de contrôle.
Le test KPSS
L’hypothèse nulle inversée
H_0 : \text{la série est \textbf{stationnaire}} \qquad \text{contre} \qquad H_1 : \text{racine unitaire}. C’est exactement l’inverse de DF, ADF et PP.
Un test ne prouve jamais son hypothèse nulle : il échoue seulement à la rejeter. Avec ADF, ne pas rejeter H_0 ne prouve pas la présence d’une racine unitaire — cela peut simplement signaler un manque de puissance.
En inversant les rôles, KPSS met la stationnarité à l’épreuve. Les deux tests se complètent, ils ne se remplacent pas.
Le principe
On décompose la série en tendance, marche aléatoire et bruit :
y_t = \delta\,t + \xi_t + u_t, \qquad \xi_t = \xi_{t-1} + v_t, \quad v_t \sim \mathrm{WN}(0,\sigma_v^2).
H_0 : \sigma_v^2 = 0 — la composante de marche aléatoire est absente. La statistique repose sur la somme cumulée des résidus : \mathrm{KPSS} = \frac{1}{T^2\hat{\sigma}_{\mathrm{LR}}^2}\sum_{t=1}^{T} S_t^2, \qquad S_t = \sum_{i=1}^{t}\hat{u}_i .
Si la série est stationnaire, ses résidus se compensent et la somme cumulée reste petite. Si elle contient une marche aléatoire, la somme cumulée diverge et la statistique explose. On rejette pour des valeurs élevées.
Croiser les conclusions
La table de décision
| ADF | KPSS | Conclusion |
|---|---|---|
| rejette H_0 | ne rejette pas | stationnaire, sans ambiguïté |
| ne rejette pas | rejette | racine unitaire, sans ambiguïté |
| ne rejette pas | rejette aussi… | échantillon peu informatif |
| rejette | rejette aussi | mauvaise spécification ou rupture |
Ligne 3 : aucun des deux tests ne tranche — les données ne contiennent pas assez d’information, il faut allonger l’échantillon.
Ligne 4 : les deux rejettent, ce qui est contradictoire. Le plus souvent, la série comporte une rupture structurelle que les tests interprètent à tort comme une racine unitaire.
Le piège de la rupture
Une série stationnaire autour d’une moyenne qui change une fois de niveau est très souvent déclarée I(1) par ADF. Le test confond changement de régime et racine unitaire.
Le remède existe — tests à rupture endogène de Zivot-Andrews — mais la première précaution est de regarder la série avant de tester.
Application aux séries financières
| Série | ADF | KPSS | Conclusion |
|---|---|---|---|
| \ln P_t (log-prix) | ne rejette pas | rejette | I(1) |
| r_t = \Delta \ln P_t | rejette nettement | ne rejette pas | I(0) |
Travailler sur les rentabilités plutôt que sur les prix n’est pas une convention de métier : c’est le résultat d’un test. Et il place le prix exactement là où le cours de calcul stochastique le suppose — une marche aléatoire.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Sous racine unitaire, la statistique de Student ne suit pas une loi de Student : tables spéciales.
- DF : \Delta y_t = \varphi y_{t-1} + \varepsilon_t, H_0 : \varphi = 0. Trois spécifications selon les composantes déterministes.
- ADF ajoute des différences retardées pour blanchir le résidu ; mêmes valeurs critiques.
- Phillips-Perron corrige la statistique au lieu d’augmenter la régression ; plus robuste à l’hétéroscédasticité.
- KPSS inverse l’hypothèse nulle : H_0 est la stationnarité. À croiser systématiquement avec ADF.
- Une rupture structurelle se fait passer pour une racine unitaire : regarder la série avant de tester.
La série est stationnaire, ou l’a été rendue. Nous pouvons enfin calculer ce que les modèles prédisent : moments, autocovariances, et la signature qui permettra de les reconnaître.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
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