Modélisation ARMA des rentabilités financières
Autocorrélation, autocorrélogramme et mémoire
- Présentation du cours
- Variable aléatoire et processus stochastique
- La stationnarité
- Le bruit blanc
- L'opérateur retard et l'écriture polynomiale
- Les processus autorégressifs AR(p)
- Les processus de moyenne mobile MA(q)
- Les processus mixtes ARMA(p,q)
- Conditions de stationnarité et d'inversibilité
- Les tests de racine unitaire
- Espérance, variance et fonction d'autocovariance
- Autocorrélation, autocorrélogramme et mémoire
- Box et Jenkins : l'identification
- Le choix du modèle par les critères d'information
- L'estimation : moindres carrés et maximum de vraisemblance
- La validation, et ce que les résidus révèlent
- La prévision : ponctuelle, par intervalle, par densité
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
Modélisation ARMA des rentabilités financières
Chapitre 10 : Autocorrélation, autocorrélogramme et mémoire
Avant de commencer
Le passage de la théorie à l’observation
Le chapitre 9 a donné les \rho_k théoriques. Il faut maintenant les estimer sur données, les représenter, et disposer d’un second instrument pour distinguer ce que l’ACF seule ne sépare pas.
Estimer l’autocorrélation
Les formules empiriques
\hat{\gamma}_k = \frac{1}{T}\sum_{t=k+1}^{T}(x_t-\bar{x})(x_{t-k}-\bar{x}), \qquad \hat{\rho}_k = \frac{\hat{\gamma}_k}{\hat{\gamma}_0}.
Le diviseur T produit un estimateur légèrement biaisé, mais garantit que la matrice des autocovariances reste définie positive — condition indispensable à l’estimation. On préfère un petit biais à une incohérence.
Combien de retards examiner
On calcule les \hat{\rho}_k jusqu’à K \approx T/4, souvent plafonné à 20 ou 40 retards.
\hat{\rho}_k ne repose que sur T-k paires. Les autocorrélations de rang élevé sont estimées sur peu d’observations : elles sont bruitées, et il ne faut pas les surinterpréter.
L’autocorrélogramme
Sa lecture
Le graphique de \hat{\rho}_k contre k, avec les bandes \pm 1{,}96/\sqrt{T}.
Ici, la coupure après le retard 1 est nette : c’est la signature d’un MA(1).
Trois profils, trois diagnostics
| Profil de l’ACF | Diagnostic |
|---|---|
| tout dans les bandes | bruit blanc : aucune mémoire |
| coupure nette après q | MA(q) |
| décroissance géométrique | AR ou ARMA |
| décroissance très lente, quasi linéaire | non stationnaire : différencier |
Une ACF qui reste élevée sur trente retards ne dit pas « longue mémoire » : elle dit que la série n’a pas été stationnarisée. Aucun ARMA ne doit être estimé avant d’y avoir remédié.
L’autocorrélation partielle
Le problème que l’ACF ne résout pas
Dans un AR(1), \rho_2 = \alpha^2 \neq 0. Pourtant y_t ne dépend de y_{t-2} que par l’intermédiaire de y_{t-1} : il n’y a aucun lien direct.
L’ACF ne distingue pas le lien direct du lien transmis. Elle ne peut donc pas révéler l’ordre p.
La définition
\phi_{kk} est la corrélation entre y_t et y_{t-k} une fois retiré l’effet des variables intermédiaires y_{t-1},\dots,y_{t-k+1}.
De façon équivalente : \phi_{kk} est le coefficient du dernier terme dans la régression y_t = \phi_{k1}y_{t-1} + \phi_{k2}y_{t-2} + \dots + \phi_{kk}y_{t-k} + u_t .
« Ce que y_{t-k} apporte en plus de ce qu’apportent déjà les retards plus proches. »
Le résultat décisif
Pour un AR(p), \phi_{kk} = 0 dès que k > p.
Au-delà de p retards, le modèle ne contient plus rien : ajouter y_{t-p-1} n’apporte aucune information nouvelle. La PACF coupe là où l’ACF ne coupait jamais.
C’est la symétrie parfaite du MA : l’ACF coupe pour un MA, la PACF coupe pour un AR.
Voir la symétrie
AR(1) : l’ACF décroît géométriquement, la PACF coupe après le retard 1.
Voir la symétrie (suite)
MA(1) : l’ACF coupe après le retard 1, la PACF décroît.
Le cas AR(2)
Deux pics significatifs sur la PACF, puis plus rien : p = 2 se lit directement.
Le cas MA(2)
Deux pics sur l’ACF, puis coupure : q = 2. La PACF, elle, s’étire — c’est l’image en miroir exacte du cas précédent.
Le cas mixte
Pour un ARMA(1,1), ni l’ACF ni la PACF ne coupent : les deux décroissent. On sait qu’il s’agit d’un modèle mixte, mais on ne lit ni p ni q.
C’est cette difficulté qui justifie les deux outils du chapitre 11 — la fonction d’autocorrélation étendue — et les critères d’information du chapitre 12.
Mémoire et stationnarité
Le lien
Un processus stationnaire a des autocorrélations qui tendent vers zéro. Un processus à racine unitaire a des autocorrélations qui ne décroissent pratiquement pas.
Pour y_t = y_{t-1}+\varepsilon_t partant de y_0=0 : \mathrm{Corr}(y_t, y_{t+k}) = \sqrt{\frac{t}{t+k}}. Sur un échantillon de 1000 observations, la corrélation à 10 retards vaut encore 0{,}995. Le corrélogramme est presque plat à 1 : impossible de le confondre avec un ARMA stationnaire.
Le tableau de synthèse
| Modèle | ACF | PACF |
|---|---|---|
| Bruit blanc | nulle partout | nulle partout |
| AR(p) | décroissance géométrique | coupure après p |
| MA(q) | coupure après q | décroissance géométrique |
| ARMA(p,q) | décroissance après q | décroissance après p |
| I(1) | décroissance très lente | pic proche de 1 en k=1 |
Cette table est l’instrument de l’étape d’identification. Le chapitre 11 en montre l’usage sur données réelles — avec ses pièges.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- \hat{\rho}_k s’estime sur T-k paires : les retards élevés sont peu fiables.
- L’autocorrélogramme se lit avec les bandes \pm1{,}96/\sqrt{T}.
- La PACF mesure le lien direct, une fois neutralisés les retards intermédiaires.
- Symétrie fondamentale : l’ACF coupe pour un MA(q), la PACF coupe pour un AR(p).
- Pour un ARMA mixte, aucune des deux ne coupe : il faudra d’autres outils.
- Une ACF qui décroît très lentement signale la non-stationnarité, pas la mémoire longue.
Nous disposons de tout l’appareil théorique. Reste à en faire une méthode : c’est la démarche en trois temps de Box et Jenkins.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
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- QCM (bientôt)