Modélisation ARMA des rentabilités financières
Le choix du modèle par les critères d’information
- Présentation du cours
- Variable aléatoire et processus stochastique
- La stationnarité
- Le bruit blanc
- L'opérateur retard et l'écriture polynomiale
- Les processus autorégressifs AR(p)
- Les processus de moyenne mobile MA(q)
- Les processus mixtes ARMA(p,q)
- Conditions de stationnarité et d'inversibilité
- Les tests de racine unitaire
- Espérance, variance et fonction d'autocovariance
- Autocorrélation, autocorrélogramme et mémoire
- Box et Jenkins : l'identification
- Le choix du modèle par les critères d'information
- L'estimation : moindres carrés et maximum de vraisemblance
- La validation, et ce que les résidus révèlent
- La prévision : ponctuelle, par intervalle, par densité
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
Modélisation ARMA des rentabilités financières
Chapitre 12 : Le choix du modèle par les critères d’information
Avant de commencer
Le problème
Le chapitre 11 a livré une liste de candidats. Comment trancher ?
Ajouter un retard ne peut jamais dégrader l’ajustement dans l’échantillon : la vraisemblance augmente mécaniquement. Choisir le modèle qui ajuste le mieux, c’est choisir le plus gros — et prévoir mal.
Le principe
Deux termes qui s’opposent
\text{critère} = \underbrace{-2\ln \hat{L}}_{\text{défaut d'ajustement}} \;+\; \underbrace{\kappa(T)\cdot k}_{\text{pénalité}} , où \hat{L} est la vraisemblance maximisée et k = p+q+1 le nombre de paramètres.
On retient le modèle qui minimise le critère.
L’arbitrage, visuellement
Le premier terme décroît : plus de paramètres, meilleur ajustement. Le second croît linéairement. Leur somme atteint un minimum — c’est le modèle retenu.
Les trois critères
Leurs formules
\mathrm{AIC} = -2\ln\hat{L} + 2k \mathrm{BIC} = -2\ln\hat{L} + k\ln T \qquad \text{(aussi noté SC, critère de Schwarz)} \mathrm{HQ} = -2\ln\hat{L} + 2k\ln(\ln T)
Ils ne diffèrent que par le poids \kappa(T) accordé à chaque paramètre.
Comparer les pénalités
| T | AIC (2) | HQ (2\ln\ln T) | BIC (\ln T) |
|---|---|---|---|
| 100 | 2,00 | 3,06 | 4,61 |
| 500 | 2,00 | 3,68 | 6,21 |
| 2 500 | 2,00 | 4,12 | 7,82 |
La pénalité de l’AIC ne dépend pas de la taille de l’échantillon ; celles du BIC et du HQ croissent avec T. Sur données financières, où T dépasse souvent 2 000, le BIC est nettement plus sévère : il choisira presque toujours un modèle plus petit.
Ce que chacun cherche
- BIC : consistant. Si le vrai modèle est un ARMA d’ordres finis, la probabilité que le BIC le retienne tend vers 1 quand T\to\infty.
- AIC : efficace. Il minimise l’erreur de prévision quand le vrai processus est plus riche qu’un ARMA fini — c’est-à-dire, en pratique, toujours.
- HQ : intermédiaire, consistant lui aussi, mais moins sévère que le BIC.
Ils répondent à deux questions différentes. Si le but est de retrouver un mécanisme, le BIC. Si le but est de prévoir, l’AIC. En finance, où aucun ARMA n’est le vrai modèle, l’argument penche vers l’AIC — mais son penchant pour les gros modèles reste un défaut.
Que faire quand ils divergent
- Retenir le modèle du BIC : plus parcimonieux, plus robuste hors échantillon.
- Estimer les deux et comparer leurs prévisions sur une période réservée.
- Trancher par la validation : si le modèle du BIC laisse des résidus autocorrélés, il est trop petit.
La procédure en pratique
Balayer une grille
- Fixer des ordres maximaux, par exemple p \le 4 et q \le 4.
- Estimer les 25 modèles.
- Reporter les critères dans une table à double entrée.
- Retenir le minimum, et vérifier qu’il est net.
| p\backslash q | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 0 | 5 412 | 5 389 | 5 391 |
| 1 | 5 386 | 5 390 | 5 397 |
| 2 | 5 391 | 5 396 | 5 404 |
Minimum en (1,0) : AR(1). L’écart avec ses voisins est faible — signe qu’aucun modèle ne s’impose vraiment.
Trois précautions
- Même échantillon. Comparer un AR(1) estimé sur T-1 points et un AR(4) estimé sur T-4 est une erreur : il faut fixer le début de l’échantillon.
- Même méthode d’estimation. Vraisemblance exacte et conditionnelle ne donnent pas les mêmes \ln\hat{L}.
- Les valeurs absolues n’ont pas de sens. Seuls les écarts entre modèles comptent ; un écart inférieur à 2 est négligeable.
Le critère ne remplace pas le jugement
Le critère d’information départage des modèles également valides. Un modèle dont les résidus sont autocorrélés est rejeté, quel que soit son AIC. La validation prime sur le critère.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Critère = -2\ln\hat{L} + \kappa(T)\,k ; on minimise.
- AIC : \kappa = 2. BIC : \kappa = \ln T. HQ : \kappa = 2\ln\ln T.
- BIC et HQ sont consistants ; l’AIC est efficace pour la prévision.
- Sur grands échantillons financiers, le BIC choisit des modèles nettement plus petits.
- Comparer sur le même échantillon et la même méthode d’estimation ; seuls les écarts comptent.
- La validation prime : un critère bas ne sauve pas un modèle mal spécifié.
Ces critères supposent une vraisemblance déjà maximisée. Il faut donc dire comment on estime les coefficients — et pourquoi les moindres carrés, qui suffisent pour un AR, échouent dès qu’il y a une partie MA.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
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