Modélisation ARMA des rentabilités financières
La stationnarité
- Présentation du cours
- Variable aléatoire et processus stochastique
- La stationnarité
- Le bruit blanc
- L'opérateur retard et l'écriture polynomiale
- Les processus autorégressifs AR(p)
- Les processus de moyenne mobile MA(q)
- Les processus mixtes ARMA(p,q)
- Conditions de stationnarité et d'inversibilité
- Les tests de racine unitaire
- Espérance, variance et fonction d'autocovariance
- Autocorrélation, autocorrélogramme et mémoire
- Box et Jenkins : l'identification
- Le choix du modèle par les critères d'information
- L'estimation : moindres carrés et maximum de vraisemblance
- La validation, et ce que les résidus révèlent
- La prévision : ponctuelle, par intervalle, par densité
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
Modélisation ARMA des rentabilités financières
Chapitre 1 : La stationnarité
Avant de commencer
La question laissée ouverte
Une seule trajectoire observée. Pour en tirer quoi que ce soit, il faut que le processus se répète d’une certaine manière au fil du temps. Reste à dire laquelle.
La stationnarité stricte
Une exigence trop forte
Le processus (y_t) est strictement stationnaire si, pour tout k et toute suite de dates t_1,\dots,t_n, la loi jointe de (y_{t_1}, \dots, y_{t_n}) \quad \text{et celle de} \quad (y_{t_1+k}, \dots, y_{t_n+k}) sont identiques. Décaler l’origine du temps ne change rien.
Cette définition porte sur des lois entières, qu’on n’observe jamais. Elle est invérifiable en pratique. On lui préfère une version qui ne contraint que les deux premiers moments.
La stationnarité faible
Trois conditions
Le processus (y_t) est stationnaire au sens faible si :
- \mathrm{E}(y_t) = \mu, constante — indépendante de t ;
- \mathrm{V}(y_t) = \sigma^2 < \infty, constante ;
- \mathrm{Cov}(y_t,\,y_{t-k}) = \gamma_k ne dépend que de l’écart k, jamais de la date t.
Lire les trois conditions
interdit la tendance : la série ne dérive pas.
interdit la variance changeante : l’amplitude des fluctuations reste stable. C’est celle qui posera problème sur les rentabilités.
interdit que le lien entre deux dates dépende du moment où l’on regarde : la corrélation entre janvier et février doit être celle entre juillet et août.
Quatre séries, une seule stationnaire
Quatre séries, une seule stationnaire (suite)
En haut à gauche, la série oscille autour d’un niveau fixe avec une amplitude stable : rien ne s’y oppose. Les trois autres violent respectivement la condition (1), la condition (2), et — pour la marche aléatoire — les conditions (2) et (3) à la fois.
Strict, faible : quel lien ?
- Stationnarité stricte + moments d’ordre 2 finis \Rightarrow stationnarité faible.
- La réciproque est fausse en général.
- Elle devient vraie dans le cas gaussien : une loi normale est entièrement déterminée par sa moyenne et sa variance.
« Faible » ne veut pas dire approximatif. Cela veut dire : on ne contraint que l’espérance, la variance et les covariances. Tout le reste de la loi — asymétrie, épaisseur des queues — est laissé libre. C’est précisément ce qui permettra aux rentabilités d’être stationnaires et d’avoir des queues épaisses.
Pourquoi la stationnarité
L’ergodicité, en un mot
Un processus stationnaire est ergodique pour la moyenne si \bar{y}_T = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T} y_t \ \xrightarrow[T\to\infty]{} \ \mu . La moyenne calculée le long d’une trajectoire converge vers l’espérance du processus.
La stationnarité garantit qu’il existe un \mu unique à estimer. L’ergodicité garantit qu’on peut l’atteindre en moyennant dans le temps. Ensemble, elles remplacent les répétitions dont on ne dispose pas.
Le danger d’ignorer la stationnarité
Deux séries indépendantes, chacune munie d’une tendance, présentent un R^2 élevé et des coefficients très significatifs — alors qu’aucun lien ne les unit. Le problème n’est pas la faiblesse du test, c’est que ses hypothèses sont violées : la statistique de Student ne suit plus la loi qu’on lui prête.
On ne modélise jamais une série non stationnaire par un ARMA. On la stationnarise d’abord — et le chapitre 7 dira comment.
Le cas des rentabilités
Un cours de bourse n’est pas stationnaire : il n’a pas de niveau d’ancrage, et sa variance croît avec l’horizon. Sa différence logarithmique — la rentabilité — l’est approximativement : elle oscille autour de zéro, sans tendance.
P_t \ \text{non stationnaire} \quad \longrightarrow \quad r_t = \ln P_t - \ln P_{t-1} \ \text{stationnaire en moyenne}.
« Stationnaire en moyenne » ne veut pas dire stationnaire tout court. La condition (2) — variance constante — est douteuse sur données financières. C’est exactement le point sur lequel le cours s’achèvera, et qui appellera les modèles GARCH.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- La stationnarité stricte porte sur les lois jointes : invérifiable en pratique.
- La stationnarité faible impose trois conditions : espérance constante, variance constante et finie, covariance ne dépendant que du décalage.
- Elle rend l’inférence possible à partir d’une trajectoire unique ; l’ergodicité en assure la convergence.
- Une série non stationnaire doit être transformée avant toute modélisation ARMA.
- Les rentabilités sont stationnaires en moyenne ; leur variance, elle, pose question.
Il nous faut maintenant un exemple de processus stationnaire — le plus simple possible, celui qui servira de brique à tous les modèles du cours. C’est le bruit blanc.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)