Modélisation ARMA des rentabilités financières
Le bruit blanc
- Présentation du cours
- Variable aléatoire et processus stochastique
- La stationnarité
- Le bruit blanc
- L'opérateur retard et l'écriture polynomiale
- Les processus autorégressifs AR(p)
- Les processus de moyenne mobile MA(q)
- Les processus mixtes ARMA(p,q)
- Conditions de stationnarité et d'inversibilité
- Les tests de racine unitaire
- Espérance, variance et fonction d'autocovariance
- Autocorrélation, autocorrélogramme et mémoire
- Box et Jenkins : l'identification
- Le choix du modèle par les critères d'information
- L'estimation : moindres carrés et maximum de vraisemblance
- La validation, et ce que les résidus révèlent
- La prévision : ponctuelle, par intervalle, par densité
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
Modélisation ARMA des rentabilités financières
Chapitre 2 : Le bruit blanc
Avant de commencer
Le rôle de ce chapitre
Le bruit blanc joue deux rôles, et il ne faut pas les confondre.
Au début : c’est la brique. Tous les modèles AR, MA et ARMA se construisent en filtrant un bruit blanc.
À la fin : c’est le juge. Un modèle est validé si, et seulement si, ce qu’il n’a pas expliqué — ses résidus — est un bruit blanc.
La définition
Les trois conditions
Un processus (\varepsilon_t) est un bruit blanc, noté \varepsilon_t \sim \mathrm{WN}(0,\sigma_\varepsilon^2), si :
- \mathrm{E}(\varepsilon_t) = 0 pour tout t ;
- \mathrm{V}(\varepsilon_t) = \sigma_\varepsilon^2, constante et finie ;
- \mathrm{Cov}(\varepsilon_t,\,\varepsilon_{t-k}) = 0 pour tout k \neq 0.
Un processus stationnaire sans aucune mémoire. Chaque tirage ignore complètement les précédents — du moins linéairement.
Une trajectoire
Aucune structure visible : ni tendance, ni cycle, ni période calme suivie d’une période agitée.
Trois degrés de bruit blanc
| Type | Condition sur les \varepsilon_t |
|---|---|
| faible | non corrélés |
| fort | indépendants et de même loi (i.i.d.) |
| gaussien | i.i.d. et de loi \mathcal{N}(0,\sigma_\varepsilon^2) |
Non corrélé n’est pas indépendant. Deux variables peuvent avoir une corrélation nulle et être fortement liées — par exemple si \varepsilon_t et \varepsilon_{t-1} ont des amplitudes liées sans que leurs signes le soient.
Les rentabilités financières sont approximativement un bruit blanc faible. Elles ne sont pas un bruit blanc fort. Tout le cours mène à cette phrase.
Bruit blanc : les corrélations
Les fonctions
\gamma_k = \mathrm{Cov}(y_t, y_{t-k}), \qquad \rho_k = \frac{\gamma_k}{\gamma_0}, \qquad \rho_0 = 1 .
Pour un bruit blanc :
\gamma_0 = \sigma_\varepsilon^2, \qquad \gamma_k = 0 \ \ (k \neq 0), \qquad \rho_k = \begin{cases} 1 & k = 0\\ 0 & k \neq 0. \end{cases}
L’autocorrélogramme
Le graphique des \hat{\rho}_k en fonction du retard k, assorti des bandes \pm 1{,}96/\sqrt{T} à l’intérieur desquelles une autocorrélation est jugée nulle au seuil de 5 %.
Lire les bandes de confiance
Sous l’hypothèse de bruit blanc, pour T grand, \hat{\rho}_k \ \approx\ \mathcal{N}\!\Big(0,\ \frac{1}{T}\Big) . D’où l’intervalle \pm 1{,}96/\sqrt{T}.
Sur 20 retards testés au seuil de 5 %, on s’attend à en voir un sortir des bandes par pur hasard. Un pic isolé au retard 13, sans justification économique, n’est pas un signal : c’est du bruit sur du bruit.
Du bruit blanc aux modèles
L’idée générale
Un filtre linéaire est une opération qui construit une nouvelle série en combinant les valeurs présentes et passées d’une série d’entrée, avec des poids fixes : y_t = \sum_{j\ge 0}\psi_j\,\varepsilon_{t-j} = \Psi(L)\,\varepsilon_t , où \Psi(L) = \sum_{j\ge0}\psi_j L^j est la fonction de transfert du filtre. Les \psi_j sont ses poids, et le filtre est dit stable si \sum_j|\psi_j| < \infty.
Le terme est emprunté au traitement du signal : on fait passer un signal d’entrée — ici le bruit blanc — à travers un dispositif qui en atténue certaines composantes et en amplifie d’autres. La sortie porte la trace de ce que le dispositif a fait, non de ce qu’était l’entrée.
Le filtre est la seule source de mémoire
Écrire la série observée comme le résultat d’un filtre appliqué à un bruit blanc : y_t = \Psi(L)\,\varepsilon_t .
L’entrée n’a aucune mémoire, par définition du bruit blanc. Toute l’autocorrélation de y vient donc du filtre, et d’elle seule. Deux séries qui diffèrent par leur mémoire diffèrent par leurs \psi_j, jamais par leur bruit.
\Psi(L) = 1 + \beta L : seuls deux poids sont non nuls. La sortie ne se souvient que d’une période — c’est un MA(1).
\Psi(L) = 1 + \alpha L + \alpha^2L^2 + \cdots : les poids décroissent géométriquement, la mémoire est infinie mais s’estompe — c’est un AR(1).
Modéliser, c’est trouver le filtre. Valider, c’est appliquer le filtre inverse \Psi(L)^{-1} à la série et vérifier qu’il en sort bien un bruit blanc. Le chapitre 14 fera exactement cela.
Le bruit blanc n’est pas une série sans intérêt
Si les rentabilités étaient un bruit blanc, aucune stratégie fondée sur les rentabilités passées ne pourrait battre le marché. C’est la forme faible de l’hypothèse d’efficience. Le cours va tester cette proposition — et la trouver presque vraie.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Bruit blanc : espérance nulle, variance constante, autocovariances nulles à tout retard non nul.
- Faible (non corrélé) \subset fort (i.i.d.) \subset gaussien. La distinction est décisive.
- Son autocorrélogramme est plat, à l’intérieur des bandes \pm 1{,}96/\sqrt{T}.
- Sur 20 retards, un dépassement isolé est attendu par hasard.
- Le bruit blanc est la brique des modèles, et le critère de leur validation.
Nous avons la brique et le critère. Il reste à construire les filtres — et à se donner d’abord la notation qui les rendra maniables : l’opérateur retard.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)