Modélisation ARMA des rentabilités financières
Les processus autorégressifs AR(p)
- Présentation du cours
- Variable aléatoire et processus stochastique
- La stationnarité
- Le bruit blanc
- L'opérateur retard et l'écriture polynomiale
- Les processus autorégressifs AR(p)
- Les processus de moyenne mobile MA(q)
- Les processus mixtes ARMA(p,q)
- Conditions de stationnarité et d'inversibilité
- Les tests de racine unitaire
- Espérance, variance et fonction d'autocovariance
- Autocorrélation, autocorrélogramme et mémoire
- Box et Jenkins : l'identification
- Le choix du modèle par les critères d'information
- L'estimation : moindres carrés et maximum de vraisemblance
- La validation, et ce que les résidus révèlent
- La prévision : ponctuelle, par intervalle, par densité
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
Modélisation ARMA des rentabilités financières
Chapitre 4 : Les processus autorégressifs AR(p)
Avant de commencer
L’idée de la famille
La série s’explique par son propre passé. « Auto » : la variable est régressée sur elle-même ; « régressif » : par une relation linéaire, comme dans une régression ordinaire.
Le processus AR(1)
La forme habituelle
y_t = \theta + \alpha\,y_{t-1} + \varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t \sim \mathrm{WN}(0,\sigma_\varepsilon^2).
Trois éléments, et un seul est nouveau : la constante c fixe le niveau, le terme \alpha y_{t-1} porte la mémoire, le bruit \varepsilon_t apporte la nouveauté de la période — on l’appelle aussi l’innovation.
C’est le coefficient de persistance : la fraction de l’écart d’hier qui se retrouve aujourd’hui. Un choc reçu à la date t subsiste \alpha fois à la date suivante, \alpha^2 deux périodes plus tard, et ainsi de suite.
La forme polynomiale
En passant le terme retardé à gauche :
y_t - \alpha\,y_{t-1} = \theta + \varepsilon_t \quad \Longleftrightarrow \quad (1-\alpha L)\,y_t = \theta + \varepsilon_t
A(L)\,y_t = \theta + \varepsilon_t, \qquad A(L) = 1 - \alpha L .
Ce que \alpha change, visuellement
\alpha = 0{,}3 : la série revient vite vers sa moyenne, les écarts ne durent pas.
\alpha = 0{,}9 : elle s’éloigne longtemps, on croit voir des cycles — il n’y en a pas, seulement de la persistance.
\alpha = -0{,}7 : chaque écart est suivi d’un écart de signe opposé. La série « zigzague » systématiquement.
Trois cas particuliers à connaître
- \alpha = 0 : y_t = \theta + \varepsilon_t. Le bruit blanc est un AR(1) sans mémoire.
- \alpha = 1 : y_t = \theta + y_{t-1} + \varepsilon_t. C’est la marche aléatoire — non stationnaire.
- |\alpha| > 1 : les chocs sont amplifiés à chaque période, la série explose.
La marche aléatoire est le modèle de référence du prix d’un actif efficient : la meilleure prévision de demain est la valeur d’aujourd’hui. Elle sépare les processus stationnaires (|\alpha|<1) des processus explosifs, et c’est elle que testent les tests de racine unitaire.
Le processus AR(p)
La forme générale
y_t = \theta + \alpha_1 y_{t-1} + \alpha_2 y_{t-2} + \dots + \alpha_p y_{t-p} + \varepsilon_t , \qquad \boxed{\alpha_p \neq 0}.
L’ordre p est le nombre de retards retenus : c’est la profondeur de mémoire directe du modèle.
Sans cette condition, l’ordre ne serait pas défini. Un AR(3) dont \alpha_3 = 0 est un AR(2), et rien d’autre. La contrainte fait de p le plus petit ordre qui décrive le processus — c’est ce qui donne un sens à la question « quel est l’ordre ? », et donc à toute l’étape d’identification.
La forme polynomiale
\big(1 - \alpha_1 L - \alpha_2 L^2 - \dots - \alpha_p L^p\big)y_t = \theta + \varepsilon_t
A(L)\,y_t = \theta + \varepsilon_t, \qquad A(L) = 1 - \sum_{i=1}^{p}\alpha_i L^i .
Quel que soit p, un seul objet : le polynôme A. Toutes les propriétés de la famille se liront sur lui — c’est ce qui permet d’énoncer une règle unique au chapitre 7, plutôt qu’une condition par valeur de p.
Mémoire directe et mémoire indirecte
Dans un AR(1), y_t ne dépend directement que de y_{t-1}. Mais y_{t-1} dépend de y_{t-2}, qui dépend de y_{t-3}… La dépendance se transmet de proche en proche.
y_t et y_{t-2} sont corrélés dans un AR(1), mais uniquement à travers y_{t-1}. Si l’on neutralise y_{t-1}, il ne reste rien. C’est exactement ce que mesurera l’autocorrélation partielle, au chapitre 10 — et c’est ce qui permettra de lire p sur un graphique.
La forme moyenne mobile infinie
En inversant le polynôme, comme au chapitre 3 :
y_t = \frac{\theta}{A(1)} + A(L)^{-1}\varepsilon_t = \mu + \sum_{j\ge0}\psi_j\,\varepsilon_{t-j}.
Écrit avec p paramètres, il contient en réalité une infinité de coefficients \psi_j. C’est ce qui fait la force du modèle autorégressif : une mémoire infinie, résumée par très peu de nombres.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- AR(1) : y_t = \theta + \alpha y_{t-1} + \varepsilon_t, soit (1-\alpha L)y_t = \theta + \varepsilon_t.
- \alpha mesure la persistance ; un choc survit en \alpha^k après k périodes.
- \alpha=0 : bruit blanc. \alpha=1 : marche aléatoire. |\alpha|>1 : explosif.
- AR(p) : A(L)y_t = \theta + \varepsilon_t avec A(L) = 1-\sum\alpha_iL^i.
- Un AR admet une représentation MA infinie : peu de paramètres, mémoire illimitée.
La famille symétrique fait le choix inverse : expliquer la série non par son passé, mais par les chocs passés. Une mémoire finie, cette fois, et parfaitement contrôlée.
Ressources du chapitre
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- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
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