Modélisation ARMA des rentabilités financières
Variable aléatoire et processus stochastique
- Présentation du cours
- Variable aléatoire et processus stochastique
- La stationnarité
- Le bruit blanc
- L'opérateur retard et l'écriture polynomiale
- Les processus autorégressifs AR(p)
- Les processus de moyenne mobile MA(q)
- Les processus mixtes ARMA(p,q)
- Conditions de stationnarité et d'inversibilité
- Les tests de racine unitaire
- Espérance, variance et fonction d'autocovariance
- Autocorrélation, autocorrélogramme et mémoire
- Box et Jenkins : l'identification
- Le choix du modèle par les critères d'information
- L'estimation : moindres carrés et maximum de vraisemblance
- La validation, et ce que les résidus révèlent
- La prévision : ponctuelle, par intervalle, par densité
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
Modélisation ARMA des rentabilités financières
Introduction : Variable aléatoire et processus stochastique
Prérequis
Ce que ce cours suppose acquis
Les Probabilités de Licence, et les chapitres de séries temporelles de l’Économétrie avancée.
Variable aléatoire, espérance, variance, covariance, loi normale. Le processus AR, la marche aléatoire, la racine unitaire et la régression fallacieuse.
Ce que le cours établit lui-même
Le cours reconstruit ces notions dans son propre langage — stationnarité, autocovariance, opérateur retard — mais suppose qu’elles ne sont pas découvertes ici.
Un étudiant qui n’aurait jamais vu un processus AR devrait lire d’abord les chapitres de séries temporelles de l’économétrie avancée.
Avant de commencer
L’objet du cours
Une seule question, posée sur une série de rentabilités boursières :
La rentabilité d’aujourd’hui aide-t-elle à prévoir celle de demain ? Et si oui, jusqu’à quel horizon ?
Répondre suppose de construire un cadre. Ce chapitre pose la brique de base : l’idée qu’une série observée est une réalisation parmi d’autres d’un objet aléatoire.
Rappel : la variable aléatoire
Définition
Une application X qui associe un nombre réel à chaque issue d’une expérience aléatoire. Elle est entièrement décrite par sa loi de probabilité.
Les grandeurs qui nous serviront :
\mathrm{E}(X) = \mu, \qquad \mathrm{V}(X) = \mathrm{E}\big[(X-\mu)^2\big] = \sigma^2 .
La rentabilité d’un actif entre t-1 et t n’est pas connue à l’avance : c’est une variable aléatoire. On la mesure le plus souvent en logarithme, r_t = \ln P_t - \ln P_{t-1}, parce que les rentabilités logarithmiques s’additionnent dans le temps.
Deux variables ensemble
\mathrm{Cov}(X,Y) = \mathrm{E}\big[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\big], \qquad \mathrm{Corr}(X,Y) = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\,\sigma_Y} \in [-1,1].
Toute la première moitié du cours consiste à calculer la corrélation entre y_t et y_{t-k} — la variable avec elle-même, décalée dans le temps. C’est ce qu’on appellera l’autocorrélation, et c’est la mesure de la mémoire.
Du hasard au processus
La définition centrale
Une famille de variables aléatoires (y_t)_{t \in T} indexée par le temps, définies sur un même espace probabilisé.
On ne manipule plus une variable aléatoire, mais une infinité — une par date. Le hasard ne porte plus sur un nombre, il porte sur une trajectoire entière.
Temps continu, temps discret
- T = \mathbb{R}^{+} : temps continu. Le processus a une valeur à chaque instant. C’est l’objet du calcul stochastique — mouvement brownien, équations différentielles stochastiques.
- T = \mathbb{Z} ou \mathbb{N} : temps discret. Le processus n’est observé qu’à des dates régulières. On parle alors de série temporelle, ou série chronologique.
Les deux régimes, côte à côte
Le calcul stochastique modélise le prix, qui cote en continu, et sert à évaluer des produits dérivés. La modélisation ARMA travaille sur les rentabilités relevées à intervalle fixe — clôture quotidienne, hebdomadaire, mensuelle. Ce sont deux lectures du même marché, à deux échelles.
Ce que « série temporelle » veut dire exactement
Le processus (y_t) est l’objet théorique : une loi sur les trajectoires. La série temporelle y_1, y_2, \dots, y_T est ce que l’on observe : une seule trajectoire, tirée une fois.
Le problème fondamental de la discipline
En statistique classique, on dispose de n tirages indépendants d’une même variable, et l’on estime sa moyenne. Ici, pour chaque date t, on ne dispose que d’une seule observation de y_t. Comment estimer \mathrm{E}(y_t) avec un tirage ?
La réponse : remplacer la répétition par la régularité
Si le processus se comporte de la même façon à toutes les dates, alors les observations successives y_1,\dots,y_T peuvent jouer le rôle des répétitions manquantes. Moyenner dans le temps revient à moyenner entre trajectoires.
C’est la stationnarité. Ce n’est pas une hypothèse technique commode : c’est ce qui autorise l’inférence à partir d’une trajectoire unique. Tout le chapitre 1 lui est consacré.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Une variable aléatoire est décrite par sa loi ; \mathrm{E}, \mathrm{V} et \mathrm{Cov} en résument l’essentiel.
- Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires indexée par le temps.
- Temps continu : calcul stochastique. Temps discret : séries temporelles — l’objet de ce cours.
- Une série observée est une seule réalisation d’un processus.
- Une observation par date : l’inférence n’est possible que si le processus est régulier dans le temps.
Il faut donc dire précisément ce que « se comporter de la même façon à toutes les dates » signifie. Trois conditions suffiront — et elles définiront la stationnarité au sens faible.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)