Modélisation ARMA des rentabilités financières
La validation, et ce que les résidus révèlent
- Présentation du cours
- Variable aléatoire et processus stochastique
- La stationnarité
- Le bruit blanc
- L'opérateur retard et l'écriture polynomiale
- Les processus autorégressifs AR(p)
- Les processus de moyenne mobile MA(q)
- Les processus mixtes ARMA(p,q)
- Conditions de stationnarité et d'inversibilité
- Les tests de racine unitaire
- Espérance, variance et fonction d'autocovariance
- Autocorrélation, autocorrélogramme et mémoire
- Box et Jenkins : l'identification
- Le choix du modèle par les critères d'information
- L'estimation : moindres carrés et maximum de vraisemblance
- La validation, et ce que les résidus révèlent
- La prévision : ponctuelle, par intervalle, par densité
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
Modélisation ARMA des rentabilités financières
Chapitre 14 : La validation, et ce que les résidus révèlent
Avant de commencer
Le principe de la validation
Un modèle ARMA est validé si ses résidus sont un bruit blanc. Tout ce qui reste structuré dans les résidus est une information que le modèle n’a pas su capter.
Sur les coefficients : sont-ils significatifs, et le modèle est-il admissible ?
Sur les résidus : ne reste-t-il rien à expliquer ?
Les tests sur les coefficients
Significativité
t = \frac{\hat{\alpha}_i}{\hat{\sigma}_{\hat{\alpha}_i}}, \qquad H_0 : \alpha_i = 0 . On rejette au seuil de 5 % si |t| > 1{,}96.
Si le dernier coefficient d’un AR(3) n’est pas significatif, l’ordre est trop grand : il faut passer à un AR(2). Les coefficients intermédiaires, en revanche, se conservent même non significatifs — on ne « troue » pas un polynôme de retard sans raison.
Admissibilité du modèle
- Racines de \hat{A} hors du cercle unité : stationnarité.
- Racines de \hat{B} hors du cercle unité : inversibilité.
- Aucune racine commune aux deux polynômes : identifiabilité.
Des écarts-types anormalement grands accompagnent presque toujours une racine commune ou une racine proche du cercle. Le remède est de réduire les ordres, jamais de forcer l’algorithme.
Les tests sur les résidus
L’autocorrélogramme des résidus
Toutes les autocorrélations dans les bandes : rien ne reste à expliquer linéairement.
Les tests de blancheur : Box-Pierce
Q_{\mathrm{BP}}(m) = T\sum_{k=1}^{m}\hat{\rho}_k^2 \ \sim\ \chi^2_{m-p-q} \quad \text{sous } H_0 . H_0 : les m premières autocorrélations des résidus sont toutes nulles.
Sous H_0, chaque \hat\rho_k est approximativement \mathcal{N}(0,1/T), donc T\hat\rho_k^2 suit un \chi^2_1. En sommant m termes indépendants, on obtient un \chi^2_m — diminué de p+q degrés de liberté parce que les résidus proviennent d’un modèle estimé, non des vrais chocs.
Ljung-Box : la correction
Q_{\mathrm{LB}}(m) = T(T+2)\sum_{k=1}^{m}\frac{\hat{\rho}_k^2}{T-k} \ \sim\ \chi^2_{m-p-q} .
\hat\rho_k n’est calculée que sur T-k paires : sa variance vaut en réalité (T-k)^{-1} plutôt que T^{-1}. Box-Pierce sous-pondère donc les retards élevés, et rejette trop rarement sur échantillon fini.
Le facteur T(T+2)/(T-k) rétablit la pondération. L’écart s’annule quand T devient grand, mais il est sensible dès que m n’est pas petit devant T.
Ljung-Box : la correction (suite)
Ljung-Box, sans hésiter : c’est le standard de tous les logiciels. Box-Pierce reste utile à connaître — c’est l’idée d’origine, et sa forme rend le raisonnement transparent.
m \approx \ln T selon Tsay, ou m = 20 par convention. Trop peu de retards : on manque une autocorrélation lointaine. Trop : la puissance du test se dilue.
Ljung-Box : la correction (suite 2)
On ne rejette pas H_0 quand le modèle est bon. C’est le cas rare d’un test où la non-significativité est le résultat recherché — donc où l’absence de puissance passe pour un succès. D’où l’intérêt de le compléter par l’examen visuel du corrélogramme.
La normalité
\mathrm{JB} = \frac{T}{6}\Big(S^2 + \frac{(K-3)^2}{4}\Big) \ \sim\ \chi^2_2 , avec S l’asymétrie et K le kurtosis.
Le kurtosis des rentabilités quotidiennes dépasse couramment 6, contre 3 pour une gaussienne. Ce rejet n’invalide pas le modèle : l’estimateur reste convergent (quasi-vraisemblance, chapitre 13). Il invalide les intervalles de prévision calculés sous hypothèse normale.
Le sur-ajustement
Estimer délibérément un modèle plus grand — ARMA(2,1) au lieu d’ARMA(1,1). Si les coefficients ajoutés ne sont pas significatifs et si les autres restent stables, le modèle initial est confirmé.
Application aux rentabilités
Ce que donne la démarche complète
- ACF et PACF des rentabilités : presque entièrement dans les bandes.
- Critères d’information : minimum atteint par un modèle très petit — bruit blanc, AR(1) ou MA(1).
- Coefficients estimés : de l’ordre de 0{,}02 à 0{,}05, parfois significatifs, jamais exploitables.
- Ljung-Box sur les résidus : non rejeté.
Ce n’est pas un échec de la méthode : c’est une confirmation empirique de l’efficience sous sa forme faible. Le passé linéaire des rentabilités ne permet pas de prévoir leur avenir.
La trajectoire, pourtant, n’a rien d’un bruit blanc
Des périodes calmes, des périodes agitées, qui se succèdent par blocs. Il y a manifestement de la structure — mais elle ne porte pas sur le signe des rentabilités, elle porte sur leur amplitude.
La figure décisive
À gauche, l’ACF des rentabilités : nulle. À droite, l’ACF des rentabilités au carré : significative sur vingt retards et au-delà.
Les rentabilités sont non corrélées, mais pas indépendantes. Elles sont un bruit blanc faible et non un bruit blanc fort — la distinction posée au chapitre 2, et dont on comprend maintenant qu’elle n’était pas une subtilité de vocabulaire.
Le test qui formalise ce constat
Régresser \hat{\varepsilon}_t^2 sur ses m retards : \hat{\varepsilon}_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1\hat{\varepsilon}_{t-1}^2 + \dots + \alpha_m\hat{\varepsilon}_{t-m}^2 + u_t . Sous H_0 d’homoscédasticité conditionnelle, T\!\cdot\!R^2 \sim \chi^2_m.
Sur données financières quotidiennes, ce test est rejeté massivement — souvent avec une p-valeur inférieure à 10^{-20}. L’hétéroscédasticité conditionnelle n’est pas une anomalie d’échantillon : c’est un fait établi.
Ce que la stationnarité devient
La condition (2) — variance constante — n’est pas violée au sens inconditionnel : la variance globale de la série existe et est finie. Elle l’est au sens conditionnel : la variance de demain, sachant le passé, change d’un jour à l’autre.
\mathrm{V}(r_t) = \sigma^2 \ \text{constante}, \qquad \mathrm{V}(r_t \mid \Omega_{t-1}) = h_t \ \text{variable}.
Un ARMA modélise l’espérance conditionnelle. Il ne dit rien de la variance conditionnelle. Il faut un second modèle, pour h_t.
Le fil conducteur, et la suite
Le parcours complet
Le cours suivant
r_t = \mu_t + \varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t = \sqrt{h_t}\,z_t, \qquad h_t = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 + \beta\,h_{t-1}. L’équation de moyenne \mu_t est l’ARMA de ce cours. L’équation de variance h_t est le cours suivant. Les deux se complètent : on ne remplace pas l’ARMA, on lui adjoint ce qui lui manque.
Une ACF des r_t^2 décroissant lentement est précisément la signature d’un GARCH(1,1) à forte persistance. La figure de ce chapitre n’est donc pas un constat d’échec : c’est le corrélogramme d’identification du cours suivant.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Un modèle est validé si ses résidus sont un bruit blanc.
- Coefficients : test de Student, racines hors du cercle unité, absence de racine commune.
- Résidus : Box-Pierce et sa version corrigée Ljung-Box (H_0 que l’on souhaite ne pas rejeter, \chi^2_{m-p-q}), Jarque-Bera, sur-ajustement.
- Les rentabilités n’ont presque aucune mémoire linéaire : l’efficience faible est confirmée.
- Mais l’ACF de leurs carrés est fortement significative : elles ne sont pas indépendantes.
- Bruit blanc faible, pas fort. La variance conditionnelle varie : c’est l’objet des modèles GARCH.
Ce cours a construit tout l’appareil nécessaire pour modéliser la moyenne conditionnelle d’une série — et l’a appliqué à des données sur lesquelles cet appareil ne trouve presque rien. C’est un résultat scientifique de premier ordre : il dit où se trouve, et où ne se trouve pas, la prévisibilité des marchés.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)