Modélisation ARMA des rentabilités financières

Mise en œuvre sur R

Modélisation ARMA des rentabilités financières

Modélisation ARMA des rentabilités financières

Chapitre 16 : Mise en œuvre sur R

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

25 septembre 2026

Avant de commencer

Le jeu de données

Le fichier rentabilites.csv

2 000 rentabilités quotidiennes simulées, fournies avec le cours. Trois colonnes : date, prix, rentabilite (en pourcentage).

Pourquoi des données simulées

Parce qu’on sait ce qu’on y a mis. Le mécanisme générateur est connu : aucune mémoire en niveau, une forte persistance de la volatilité. On peut donc vérifier que la démarche retrouve ce qui s’y trouve — et ne trouve pas ce qui ne s’y trouve pas. Sur données réelles, on ne peut jamais faire cette vérification.

Les bibliothèques

install.packages(c("forecast", "tseries", "FinTS"))
library(forecast)   # Acf, Pacf, auto.arima, forecast, checkresiduals
library(tseries)    # adf.test, kpss.test, jarque.bera.test
library(FinTS)      # ArchTest

Étape 1 — Lire et décrire

Charger la série

don <- read.csv("rentabilites.csv", stringsAsFactors = FALSE)
don$date <- as.Date(don$date)
r <- don$rentabilite
T <- length(r)                      # 2000
c(moyenne   = mean(r),
  ecart_type = sd(r),
  minimum   = min(r),
  maximum   = max(r))
   moyenne ecart_type    minimum    maximum
    0.0300     1.1764    -5.8412     4.9037

Les faits stylisés, en trois nombres

library(moments)
skewness(r)     # -0.19
kurtosis(r)     #  6.60
jarque.bera.test(r)
Ce que ces nombres disent

Un kurtosis de 6{,}6 contre 3 pour une gaussienne : les valeurs extrêmes sont bien plus fréquentes que la loi normale ne l’autorise. Jarque-Bera rejette massivement.

Ce n’est pas un obstacle à la modélisation ARMA — le chapitre 13 l’a établi, l’estimateur reste convergent. C’est un obstacle aux intervalles de prévision.

Regarder la série

plot(don$date, r, type = "l", col = "steelblue",
     xlab = "", ylab = "rentabilité (%)")
abline(h = 0, lty = 2, col = "grey40")

Ce qu’on voit avant tout calcul

Pas de tendance, pas de dérive : la moyenne semble stable. Mais l’amplitude, elle, ne l’est pas — des blocs calmes alternent avec des blocs agités. Retenez cette observation : le test formel viendra à la fin.

Étape 2 — La stationnarité

Les trois tests du chapitre 8

adf.test(r)                 # H0 : racine unitaire
pp.test(r)                  # idem, Phillips-Perron
kpss.test(r, null = "Level") # H0 : stationnarité
Augmented Dickey-Fuller Test
Dickey-Fuller = -12.517, Lag order = 12, p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary

KPSS Test for Level Stationarity
KPSS Level = 0.1174, Truncation lag parameter = 8, p-value = 0.1

Croiser les conclusions

Lecture

ADF rejette la racine unitaire (p < 0{,}01). KPSS ne rejette pas la stationnarité (p > 0{,}1).

C’est la première ligne de la table de décision du chapitre 8 : conclusion sans ambiguïté, la série est I(0).

Un avertissement de R à ne pas mal lire

R affiche p-value smaller than printed p-value. Cela signifie que la p-valeur est hors table, donc encore plus petite que 0{,}01 — pas qu’il y a un problème.

Étape 3 — Identifier

Les corrélogrammes

par(mfrow = c(1, 2))
Acf(r,  lag.max = 20, main = "ACF des rentabilités")
Pacf(r, lag.max = 20, main = "PACF des rentabilités")

Le diagnostic, et il est décevant

Les 20 autocorrélations sont toutes à l’intérieur des bandes \pm 1{,}96/\sqrt{2000} = \pm 0{,}044. La plus forte vaut 0{,}034 au retard 3.

Aucune structure. Le candidat naturel est ARMA(0,0) — le bruit blanc.

Le test de blancheur, d’emblée

Box.test(r, lag = 20, type = "Ljung-Box")
Box-Ljung test
X-squared = 20.351, df = 20, p-value = 0.4368
Conclusion

Q_{\mathrm{LB}}(20) = 20{,}4 contre une valeur critique de 31{,}4. On ne rejette pas : les rentabilités sont un bruit blanc au sens linéaire.

C’est l’efficience faible, mesurée. Le cours pourrait s’arrêter là — et c’est précisément pour cela qu’il ne s’arrête pas là.

La sélection automatique

auto.arima(r, max.p = 4, max.q = 4, d = 0,
           seasonal = FALSE, ic = "bic", stepwise = FALSE)
Series: r
ARIMA(0,0,0) with non-zero mean

sigma^2 = 1.3841:  log likelihood = -3157.62
AIC=6319.24   AICc=6319.25   BIC=6330.44
Ce que le BIC retient

Le modèle vide, avec une simple constante. La procédure du chapitre 12 confirme la lecture des corrélogrammes.

Comparer les candidats à la main

grille <- expand.grid(p = 0:3, q = 0:3)
res <- t(apply(grille, 1, function(o) {
  m <- try(arima(r, order = c(o[1], 0, o[2])), silent = TRUE)
  if (inherits(m, "try-error")) c(NA, NA)
  else c(AIC = AIC(m), BIC = BIC(m))
}))
cbind(grille, res)[order(res[, 2]), ][1:4, ]
  p q      AIC      BIC
1 0 0 6319.240 6330.442
2 1 0 6320.518 6337.321
3 0 1 6320.531 6337.334
5 1 1 6321.921 6344.325
La lecture

Le minimum du BIC est atteint en (0,0), et les écarts avec les voisins sont de l’ordre de 7 points — c’est net. Ajouter un paramètre coûte \ln(2000) = 7{,}6 et ne rapporte presque rien.

Étape 4 — Estimer et valider

Estimer, pour la démonstration

mod <- arima(r, order = c(1, 0, 0))
mod
Coefficients:
         ar1  intercept
      0.0192     0.0300
s.e.  0.0224     0.0269
Comment lire ce tableau

\hat\alpha_1 = 0{,}019 avec un écart-type de 0{,}022 : le rapport de Student vaut 0{,}86, très loin de 1{,}96. Le coefficient n’est pas significatif.

Et même s’il l’avait été : un \alpha de 0{,}02 signifie que la rentabilité d’hier explique 0{,}04\,\% de celle d’aujourd’hui. Aucun coût de transaction ne le laisserait exploiter.

Valider

checkresiduals(mod, lag = 20)
Ljung-Box test
Q* = 20.06, df = 19, p-value = 0.3907
res <- residuals(mod)
jarque.bera.test(res)   # rejeté : queues épaisses

Valider (suite)

Valider (suite 2)

Verdict

Résidus non autocorrélés, mais non gaussiens. Le modèle est valide au sens linéaire, et ses intervalles de prévision sont suspects.

Étape 5 — Prévoir

Prévision ponctuelle et intervalle

p <- forecast(mod, h = 10, level = c(80, 95))
p
    Point Forecast     Lo 95    Hi 95
2001         0.0300   -2.2762   2.3362
2002         0.0300   -2.2766   2.3366
2005         0.0300   -2.2766   2.3366
Le chapitre 15, illustré en trois lignes

La prévision ponctuelle est constante et égale à la moyenne dès le premier pas — puisque \alpha \simeq 0, il n’y a rien à propager.

L’intervalle est lui aussi constant : \pm 2{,}31, soit 1{,}96 \times 1{,}176. C’est la volatilité moyenne de tout l’échantillon, appliquée indifféremment à demain.

Étape 6 — Ce qui a échappé

Regarder les résidus au carré

Acf(res^2, lag.max = 20, main = "ACF des résidus au carré")
Box.test(res^2, lag = 20, type = "Ljung-Box")
Box-Ljung test
X-squared = 814.02, df = 20, p-value < 2.2e-16
Le contraste, en deux nombres
Série testée Q_{\mathrm{LB}}(20) p-valeur
résidus \hat\varepsilon_t 20{,}1 0{,}39
résidus au carré \hat\varepsilon_t^2 814{,}0 < 10^{-16}

Le test ARCH

ArchTest(res, lags = 12)
ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
Chi-squared = 274.53, df = 12, p-value < 2.2e-16
La conclusion de tout le cours, obtenue en une commande

Les rentabilités sont non corrélées — Ljung-Box ne rejette pas. Elles ne sont pas indépendantes — le test ARCH rejette avec une force écrasante.

Bruit blanc faible, pas bruit blanc fort. La distinction du chapitre 2 se lit ici dans deux p-valeurs.

Ce qu’il faut modéliser maintenant

La suite, en R 
library(rugarch)
spec <- ugarchspec(
  variance.model = list(model = "sGARCH", garchOrder = c(1, 1)),
  mean.model     = list(armaOrder = c(0, 0), include.mean = TRUE),
  distribution.model = "std")     # Student : queues épaisses
fit <- ugarchfit(spec, data = r)

L’armaOrder est ce que ce cours a déterminé. Le variance.model est l’objet du cours suivant.

Synthèse

Ce qu’il faut retenir

L’essentiel du chapitre 16
  • adf.test et kpss.test se lisent ensemble ; ici, série I(0) sans ambiguïté.
  • Acf / Pacf : rien hors des bandes. Box.test : Q = 20{,}4, non rejeté.
  • auto.arima avec ic = "bic" retient ARMA(0,0).
  • forecast donne une prévision constante et un intervalle constant — la volatilité moyenne.
  • Box.test sur les carrés : Q = 814. ArchTest : rejet massif.
  • Le diagnostic complet tient en six commandes, et il désigne les GARCH.
Vers le chapitre 17

La même démarche, la même série, les mêmes conclusions — en Python. L’intérêt n’est pas la répétition : c’est de constater que la méthode ne dépend pas de l’outil.

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