Modélisation ARMA des rentabilités financières
La prévision : ponctuelle, par intervalle, par densité
- Présentation du cours
- Variable aléatoire et processus stochastique
- La stationnarité
- Le bruit blanc
- L'opérateur retard et l'écriture polynomiale
- Les processus autorégressifs AR(p)
- Les processus de moyenne mobile MA(q)
- Les processus mixtes ARMA(p,q)
- Conditions de stationnarité et d'inversibilité
- Les tests de racine unitaire
- Espérance, variance et fonction d'autocovariance
- Autocorrélation, autocorrélogramme et mémoire
- Box et Jenkins : l'identification
- Le choix du modèle par les critères d'information
- L'estimation : moindres carrés et maximum de vraisemblance
- La validation, et ce que les résidus révèlent
- La prévision : ponctuelle, par intervalle, par densité
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
Modélisation ARMA des rentabilités financières
Chapitre 15 : La prévision — ponctuelle, par intervalle, par densité
Avant de commencer
Ce que « prévoir » veut dire
Ponctuelle : un nombre. « La rentabilité de demain sera de 0,04 %. »
Par intervalle : une fourchette et sa probabilité. « Entre -2{,}3\,\% et +2{,}4\,\% avec 95 % de chances. »
Par densité : toute la loi de y_{T+h}. C’est la réponse complète — les deux autres n’en sont que des résumés.
Une VaR est un quantile de la densité prévue. Le prix d’une option est une espérance sous cette densité. La prévision ponctuelle, elle, n’intéresse presque personne sur données de marché.
La prévision ponctuelle
Le critère
La prévision \hat{y}_{T+h} qui minimise \mathrm{E}\big[(y_{T+h} - \hat{y}_{T+h})^2 \mid \Omega_T\big] est l’espérance conditionnelle \hat{y}_{T+h|T} = \mathrm{E}\big(y_{T+h} \mid \Omega_T\big) .
Ce n’est pas un choix parmi d’autres : sous le critère quadratique, aucune fonction du passé ne fait mieux. Changer de critère changerait la réponse — la médiane conditionnelle minimiserait l’erreur absolue.
La règle de calcul
Pour toute date future T+h, on remplace :
- y_{T+j} connu (j \le 0) par sa valeur observée ;
- y_{T+j} futur (j > 0) par sa propre prévision \hat{y}_{T+j|T} ;
- \varepsilon_{T+j} futur (j > 0) par zéro ; \varepsilon_{T+j} passé par le résidu \hat\varepsilon_{T+j}.
Un choc futur est par définition imprévisible et centré : sa meilleure prévision est son espérance, qui vaut zéro. C’est là que se loge toute l’incertitude de la prévision.
Sur un AR(1)
Avec y_t = \theta + \alpha\,y_{t-1} + \varepsilon_t :
\hat{y}_{T+1|T} = \theta + \alpha\,y_T \hat{y}_{T+2|T} = \theta + \alpha\,\hat{y}_{T+1|T} = \theta(1+\alpha) + \alpha^2 y_T \hat{y}_{T+h|T} = \mu + \alpha^h\,(y_T - \mu), \qquad \mu = \frac{\theta}{1-\alpha} .
Comme |\alpha| < 1, \hat{y}_{T+h|T} \to \mu quand h \to \infty. Au-delà de quelques périodes, un modèle stationnaire ne prévoit plus rien d’autre que la moyenne.
\alpha = 0{,}6, y_T - \mu = 10. L’écart prévu vaut 6 à un pas, 3{,}6 à deux pas, 0{,}6 à cinq pas, 0{,}06 à dix pas. La mémoire du modèle s’épuise en une poignée de périodes.
Sur un MA(q)
\hat{y}_{T+1|T} = \theta + \beta_1\hat\varepsilon_T + \dots + \beta_q\hat\varepsilon_{T+1-q}
Pour h > q, tous les chocs concernés sont futurs, donc remplacés par zéro : \hat{y}_{T+h|T} = \theta = \mu \qquad (h > q).
Un MA(2) prévoit quelque chose à un et deux pas, et strictement rien au-delà. La coupure de l’ACF au retard q et la coupure de la prévision à l’horizon q sont le même phénomène.
La prévision par intervalle
L’erreur de prévision
En représentation MA(\infty), y_t = \mu + \sum_{j\ge0}\psi_j\varepsilon_{t-j}, l’erreur à l’horizon h s’écrit e_{T+h} = y_{T+h} - \hat{y}_{T+h|T} = \sum_{j=0}^{h-1}\psi_j\,\varepsilon_{T+h-j} .
Elle ne contient que des chocs futurs — ceux qu’on ne pouvait pas connaître.
\mathrm{V}(e_{T+h}) = \sigma_\varepsilon^2\sum_{j=0}^{h-1}\psi_j^2 .
Lire cette variance
Elle croît avec h : chaque période supplémentaire ajoute un choc.
Elle converge vers \sigma_\varepsilon^2\sum_{j\ge0}\psi_j^2 = \mathrm{V}(y_t), la variance inconditionnelle. À long horizon, prévoir ne réduit plus l’incertitude du tout.
À un pas, elle vaut \sigma_\varepsilon^2 : c’est le minimum absolu, l’incertitude irréductible.
\psi_j = \alpha^j, donc \mathrm{V}(e_{T+h}) = \sigma_\varepsilon^2\,\frac{1-\alpha^{2h}}{1-\alpha^2} \ \xrightarrow[h\to\infty]{} \ \frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\alpha^2} = \gamma_0 .
L’intervalle
\hat{y}_{T+h|T} \ \pm\ 1{,}96\,\sqrt{\mathrm{V}(e_{T+h})} .
Cet intervalle suppose que les innovations sont gaussiennes, que les paramètres sont connus (et non estimés), et que le modèle est bien spécifié. Chacune est fausse en pratique ; l’intervalle réel est plus large que l’intervalle affiché.
Ne pas confondre. Un intervalle de confiance encadre un paramètre inconnu mais fixe. Un intervalle de prévision encadre une variable aléatoire non encore réalisée : il est nécessairement plus large, puisqu’il intègre l’aléa futur en plus de l’incertitude d’estimation.
La prévision par densité
De l’intervalle à la loi entière
f\big(y_{T+h} \mid \Omega_T\big) . Sous hypothèse gaussienne et paramètres connus : y_{T+h} \mid \Omega_T \ \sim\ \mathcal{N}\Big(\hat{y}_{T+h|T},\ \ \sigma_\varepsilon^2\textstyle\sum_{j=0}^{h-1}\psi_j^2\Big).
Elle donne n’importe quel quantile, donc la VaR ; la probabilité d’un événement, par exemple \mathbb{P}(y_{T+h} < 0) ; et l’espérance de toute fonction du futur, ce dont l’évaluation d’options a besoin.
Quand la forme fermée ne suffit plus
- Tirer N trajectoires de chocs futurs (\varepsilon_{T+1},\dots,\varepsilon_{T+h}).
- Propager le modèle sur chacune pour obtenir y_{T+h}^{(i)}.
- La distribution empirique des y_{T+h}^{(i)} est la densité prédictive.
Paramétrique : tirer dans \mathcal{N}(0,\hat\sigma_\varepsilon^2) — simple, mais impose la normalité.
Bootstrap : rééchantillonner dans les résidus observés — conserve l’asymétrie et les queues épaisses, sans hypothèse de loi. C’est la voie à privilégier en finance.
Évaluer une prévision de densité
Si la densité prévue est correcte, les valeurs u_t = F_t(y_t) — la fonction de répartition prévue évaluée en la réalisation — sont uniformes sur [0,1] et indépendantes.
C’est exactement le principe du backtesting réglementaire : compter les dépassements de VaR revient à vérifier que u_t franchit le seuil 1\,\% dans 1\,\% des cas, et sans se regrouper dans le temps. Le cours de Value at Risk y consacre son chapitre 5.
La limite à combler
Ce qui est juste et ce qui ne l’est pas
La prévision ponctuelle est correcte — et sans intérêt : elle vaut à peu près la moyenne dès le premier pas, puisqu’il n’y a presque pas de mémoire.
La prévision par intervalle et par densité est fausse, parce qu’elle suppose une variance constante que le chapitre 14 a montrée changeante.
En période calme, l’intervalle fondé sur \hat\sigma_\varepsilon^2 — la volatilité moyenne de l’échantillon — est trop large : il ne sert à rien.
En période agitée, il est beaucoup trop étroit : il sous-estime le risque précisément au moment où l’on en a besoin.
\hat{y}_{T+h|T} \pm 1{,}96\,\sqrt{\hat{h}_{T+h|T}} \qquad \text{au lieu de} \qquad \hat{y}_{T+h|T} \pm 1{,}96\,\hat\sigma_\varepsilon . La prévision ponctuelle est inchangée. C’est la largeur de l’intervalle qui devient conditionnelle au passé récent — et c’est tout l’objet du cours suivant.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- La meilleure prévision au sens quadratique est l’espérance conditionnelle \mathrm{E}(y_{T+h}\mid\Omega_T).
- Règle de calcul : chocs futurs remplacés par zéro, valeurs futures par leurs prévisions.
- AR : \hat{y}_{T+h|T} = \mu + \alpha^h(y_T-\mu), convergence vers \mu. MA(q) : prévision égale à \mu dès h > q.
- \mathrm{V}(e_{T+h}) = \sigma_\varepsilon^2\sum_{j<h}\psi_j^2 : croissante en h, bornée par la variance inconditionnelle.
- Densité prédictive : gaussienne sous hypothèse forte, bootstrap des résidus sinon.
- Sur données financières, le point est bon mais l’intervalle est faux : c’est la variance conditionnelle qu’il faut modéliser.
Toute la démarche est en place. Il reste à l’exécuter — sur un vrai jeu de données, avec un vrai logiciel. R d’abord, Python ensuite.
Ressources du chapitre
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- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
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