Modélisation ARMA des rentabilités financières
Espérance, variance et fonction d’autocovariance
- Présentation du cours
- Variable aléatoire et processus stochastique
- La stationnarité
- Le bruit blanc
- L'opérateur retard et l'écriture polynomiale
- Les processus autorégressifs AR(p)
- Les processus de moyenne mobile MA(q)
- Les processus mixtes ARMA(p,q)
- Conditions de stationnarité et d'inversibilité
- Les tests de racine unitaire
- Espérance, variance et fonction d'autocovariance
- Autocorrélation, autocorrélogramme et mémoire
- Box et Jenkins : l'identification
- Le choix du modèle par les critères d'information
- L'estimation : moindres carrés et maximum de vraisemblance
- La validation, et ce que les résidus révèlent
- La prévision : ponctuelle, par intervalle, par densité
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
Modélisation ARMA des rentabilités financières
Chapitre 9 : Espérance, variance et fonction d’autocovariance
Avant de commencer
Ce que nous calculons, et pourquoi
Nous cherchons la signature de chaque modèle : la forme que prend sa fonction d’autocovariance. C’est en comparant cette signature théorique aux autocorrélations observées qu’on identifiera p et q sur données réelles.
Les moments d’ordre un
Espérance d’un MA(q)
\mathrm{E}(y_t) = \mathrm{E}\Big[\mu + \varepsilon_t + \sum_j\beta_j\varepsilon_{t-j}\Big] = \mu .
La constante d’un MA est son espérance : tous les chocs sont centrés.
Espérance d’un AR(p)
En prenant l’espérance de y_t = \theta + \sum_i\alpha_iy_{t-i} + \varepsilon_t et en utilisant la stationnarité (\mathrm{E}(y_t) = \mathrm{E}(y_{t-i}) = \mu) :
\mu = \theta + \mu\sum_i\alpha_i \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{\ \mu = \frac{\theta}{1 - \sum_i\alpha_i}\ }
La constante \theta n’est pas l’espérance : elle en est un déterminant, amplifié par la persistance. Plus \sum\alpha_i approche 1, plus \mu s’éloigne de c — et l’on retrouve au passage la condition de stationnarité, puisque le dénominateur s’annule en \sum\alpha_i = 1.
y_t = 2 + 0{,}6y_{t-1} + \varepsilon_t donne \mu = 2/(1-0{,}6) = 5. La série oscille autour de 5, non de 2.
Le processus MA, direct
MA(1)
Avec y_t = \theta + \varepsilon_t + \beta\varepsilon_{t-1} et z_t = y_t - \mu :
\gamma_0 = \mathrm{V}(z_t) = \sigma_\varepsilon^2(1+\beta^2).
\gamma_1 = \mathrm{E}\big[(\varepsilon_t+\beta\varepsilon_{t-1})(\varepsilon_{t-1}+\beta\varepsilon_{t-2})\big] = \beta\,\sigma_\varepsilon^2 ,
car seul le produit \beta\varepsilon_{t-1}\cdot\varepsilon_{t-1} survit — tous les autres croisent des chocs de dates différentes, non corrélés.
\gamma_k = 0 \quad \text{pour } k \ge 2 : \ \text{aucun choc partagé.}
L’autocorrélation d’un MA(1)
\boxed{\ \rho_1 = \frac{\beta}{1+\beta^2}, \qquad \rho_k = 0 \ \ (k\ge2).\ }
La fonction \beta \mapsto \beta/(1+\beta^2) atteint son maximum en \beta=1, où elle vaut 0{,}5. Un MA(1) ne peut donc jamais produire une autocorrélation d’ordre 1 supérieure à 0,5 en valeur absolue. Si les données en montrent une de 0,7, le MA(1) est exclu d’emblée.
MA(q)
\gamma_k = \sigma_\varepsilon^2\sum_{j=0}^{q-k}\beta_j\,\beta_{j+k} \quad (0 \le k \le q), \qquad \gamma_k = 0 \quad (k>q), avec la convention \beta_0 = 1.
\gamma_k compte les chocs partagés entre y_t et y_{t-k}, pondérés. Au-delà de q retards, il n’y en a plus aucun : la coupure est nette, sans décroissance.
AR et Yule-Walker
AR(1), par la forme MA infinie
Avec y_t - \mu = \sum_{j\ge0}\alpha^j\varepsilon_{t-j} :
\gamma_0 = \sigma_\varepsilon^2\sum_{j\ge0}\alpha^{2j} = \frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\alpha^2}.
\gamma_k = \mathrm{E}\Big[\sum_{i\ge0}\alpha^i\varepsilon_{t-i}\sum_{j\ge0}\alpha^j\varepsilon_{t-k-j}\Big] = \sigma_\varepsilon^2\alpha^k\sum_{j\ge0}\alpha^{2j} = \alpha^k\,\gamma_0 .
\boxed{\ \rho_k = \alpha^k \ }
Lire ce résultat
\alpha = 0{,}8 : \rho_1 = 0{,}80, \rho_2 = 0{,}64, \rho_3 = 0{,}51, \rho_{10} = 0{,}11. L’autocorrélation s’estompe mais ne s’annule à aucun retard fini.
Si \alpha < 0, elle alterne de signe tout en décroissant en module.
| AR(1) | MA(1) | |
|---|---|---|
| \rho_k | décroît géométriquement | s’annule dès k=2 |
| Mémoire | infinie | strictement finie |
La méthode générale : Yule-Walker
Multiplions y_t = \sum_i\alpha_iy_{t-i}+\varepsilon_t (centré) par y_{t-k} et prenons l’espérance. Pour k \ge 1, \mathrm{E}(\varepsilon_ty_{t-k}) = 0 :
\gamma_k = \sum_{i=1}^{p}\alpha_i\,\gamma_{k-i} \quad (k\ge1), \qquad \text{soit} \qquad \rho_k = \sum_{i=1}^{p}\alpha_i\,\rho_{k-i}.
Les autocorrélations obéissent à la même récurrence que le processus lui-même. Elles sont donc entièrement déterminées par les \alpha_i — et, lues à l’envers, elles permettent d’estimer les \alpha_i à partir des \rho_k observées. C’est l’estimateur de Yule-Walker.
La variance d’un AR(p)
Pour k=0, le terme en \varepsilon ne disparaît pas :
\gamma_0 = \sum_{i=1}^{p}\alpha_i\,\gamma_i + \sigma_\varepsilon^2 .
\rho_1 = \frac{\alpha_1}{1-\alpha_2}, \qquad \rho_2 = \alpha_2 + \frac{\alpha_1^2}{1-\alpha_2}, \qquad \rho_k = \alpha_1\rho_{k-1}+\alpha_2\rho_{k-2} \ \ (k\ge3). Selon les racines de A, la décroissance est monotone (racines réelles) ou oscillante amortie (racines complexes) — ce qui produit des pseudo-cycles.
Le cas ARMA(1,1)
Le résultat
\rho_1 = \frac{(1+\alpha\beta)(\alpha+\beta)}{1+2\alpha\beta+\beta^2}, \qquad \rho_k = \alpha\,\rho_{k-1} \ \ (k\ge2).
À partir du retard 2, la décroissance est purement autorégressive, au rythme \alpha. La partie MA n’agit que sur le premier retard, dont elle règle le niveau de départ.
Un ARMA(1,1) permet donc d’ajuster séparément le point de départ et la vitesse de décroissance — ce qu’aucun AR(1) ni MA(1) seul ne peut faire.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- AR : \mu = \theta/(1-\sum\alpha_i) ; la constante \theta n’est pas l’espérance.
- MA(q) : \gamma_k = 0 pour k>q — coupure nette. MA(1) : \rho_1 = \beta/(1+\beta^2), borné par 0{,}5.
- AR(1) : \rho_k = \alpha^k — décroissance géométrique, jamais nulle.
- Yule-Walker : \rho_k = \sum_i\alpha_i\rho_{k-i} ; les autocorrélations suivent la même récurrence que le processus.
- ARMA(1,1) : \rho_k = \alpha\rho_{k-1} dès k\ge2 ; le MA ne règle que le premier retard.
Ces fonctions théoriques deviennent un outil de diagnostic dès qu’on sait les représenter et les estimer. C’est l’objet du chapitre suivant — et il faudra un second instrument, l’autocorrélation partielle, pour lire l’ordre d’un AR.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
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