Modélisation ARMA des rentabilités financières
Box et Jenkins : l’identification
- Présentation du cours
- Variable aléatoire et processus stochastique
- La stationnarité
- Le bruit blanc
- L'opérateur retard et l'écriture polynomiale
- Les processus autorégressifs AR(p)
- Les processus de moyenne mobile MA(q)
- Les processus mixtes ARMA(p,q)
- Conditions de stationnarité et d'inversibilité
- Les tests de racine unitaire
- Espérance, variance et fonction d'autocovariance
- Autocorrélation, autocorrélogramme et mémoire
- Box et Jenkins : l'identification
- Le choix du modèle par les critères d'information
- L'estimation : moindres carrés et maximum de vraisemblance
- La validation, et ce que les résidus révèlent
- La prévision : ponctuelle, par intervalle, par densité
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
Modélisation ARMA des rentabilités financières
Chapitre 11 : Box et Jenkins — l’identification
Avant de commencer
La démarche
Une méthode itérative en trois temps : identifier les ordres, estimer les coefficients, valider par l’examen des résidus. Si la validation échoue, on retourne à l’identification.
Elle ne prétend pas trouver le vrai modèle du premier coup. Elle organise un aller-retour discipliné entre le modèle et les données, avec un critère d’arrêt clair : des résidus qui sont un bruit blanc.
L’étape zéro : stationnariser
Toujours en premier
Aucune identification n’a de sens sur une série non stationnaire : les autocorrélations empiriques ne convergent alors vers rien.
- Graphique de la série : tendance ? amplitude changeante ?
- ACF : décroissance très lente ?
- Test de racine unitaire : Dickey-Fuller augmenté, complété par KPSS.
- Si nécessaire : logarithme, puis différence première.
Le travail est déjà fait : r_t = \Delta\ln P_t est stationnaire en moyenne. On passe directement à l’identification.
Identifier par ACF, PACF
La table, en usage
| Modèle | ACF | PACF |
|---|---|---|
| AR(p) | décroît | coupe après p |
| MA(q) | coupe après q | décroît |
| ARMA(p,q) | décroît | décroît |
Trois pics significatifs sur la PACF, une ACF qui s’estompe régulièrement : AR(3).
Un seul pic sur l’ACF, une PACF qui décroît en alternant : MA(1) avec \beta<0.
Les pièges de la lecture
- Le pic isolé au loin. Un dépassement au retard 17 sans structure autour : sur 20 retards à 5 %, un dépassement est attendu par hasard.
- La coupure floue. Sur données réelles, l’ACF ne tombe jamais exactement à zéro. Il faut juger de la rupture, pas de la nullité.
- La saisonnalité. Des pics aux retards 12, 24, 36 sur données mensuelles ne relèvent pas d’un ARMA ordinaire mais d’un modèle saisonnier.
- Le sur-diagnostic. Devant l’ambiguïté, on est tenté d’augmenter les ordres. C’est l’inverse qu’il faut faire : partir petit.
La règle pratique
L’ACF et la PACF ne désignent pas un modèle : elles désignent une liste courte de candidats. On les estimera tous, et l’on tranchera par les critères d’information et la validation.
L’autocorrélation étendue
Le problème qu’elle résout
Pour un ARMA(1,1), ACF et PACF décroissent toutes deux : aucune ne coupe, aucune ne livre d’ordre. Il faut un instrument conçu pour ce cas.
Le principe
Pour chaque ordre autorégressif i essayé, on filtre la partie AR de la série par régressions successives, puis on examine l’ACF du résidu obtenu. Si i est le bon ordre AR, ce résidu est un MA pur, dont l’ACF coupe après q.
On retire l’autorégression pour ne laisser que la moyenne mobile — dont l’ordre, lui, se lit sans difficulté.
Lire le tableau
On dresse une table à double entrée : lignes $i = $ ordre AR, colonnes $j = $ ordre MA. On y inscrit \times si l’autocorrélation correspondante est significative, \circ sinon.
| AR \backslash MA | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | \times | \times | \times | \times | \times |
| 1 | \times | \circ | \circ | \circ | \circ |
| 2 | \times | \circ | \circ | \circ | \circ |
| 3 | \times | \times | \circ | \circ | \circ |
On repère le sommet du triangle de \circ : sa ligne donne p, sa colonne donne q. Ici, sommet en (1,1) : ARMA(1,1).
Ce qu’il faut en penser
Sur données réelles, le triangle est rarement net : quelques \times traînent à l’intérieur. L’EACF sert à restreindre la liste des candidats, non à désigner le modèle. La décision se prend au chapitre 12.
Une liste de candidats
La méthode complète
Non pas un modèle, mais trois à cinq candidats plausibles — par exemple : AR(1), MA(1), ARMA(1,1), ARMA(2,1).
Les corrélogrammes des rentabilités quotidiennes montrent le plus souvent une ACF et une PACF entièrement contenues dans les bandes. Le candidat naturel est donc… le bruit blanc, ARMA(0,0). C’est un résultat, pas un échec — et le chapitre 14 en tirera les conséquences.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Box et Jenkins : stationnariser, identifier, estimer, valider — avec retour en arrière.
- L’identification repose sur la table ACF/PACF : coupure de l’ACF \to q, coupure de la PACF \to p.
- Pour les modèles mixtes, ni l’une ni l’autre ne coupe : on recourt à l’EACF et à son triangle de zéros.
- Les pièges : pic isolé, coupure floue, saisonnalité, tentation du sur-diagnostic.
- L’identification produit une liste de candidats, pas une réponse.
Il faut donc un critère chiffré pour départager ces candidats — un critère qui récompense l’ajustement et pénalise la complexité.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)