Modélisation ARMA des rentabilités financières
Les processus mixtes ARMA(p,q)
- Présentation du cours
- Variable aléatoire et processus stochastique
- La stationnarité
- Le bruit blanc
- L'opérateur retard et l'écriture polynomiale
- Les processus autorégressifs AR(p)
- Les processus de moyenne mobile MA(q)
- Les processus mixtes ARMA(p,q)
- Conditions de stationnarité et d'inversibilité
- Les tests de racine unitaire
- Espérance, variance et fonction d'autocovariance
- Autocorrélation, autocorrélogramme et mémoire
- Box et Jenkins : l'identification
- Le choix du modèle par les critères d'information
- L'estimation : moindres carrés et maximum de vraisemblance
- La validation, et ce que les résidus révèlent
- La prévision : ponctuelle, par intervalle, par densité
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
Modélisation ARMA des rentabilités financières
Chapitre 6 : Les processus mixtes ARMA(p,q)
Avant de commencer
Pourquoi combiner
On pourrait toujours approcher une série par un AR d’ordre élevé, ou par un MA d’ordre élevé. Mais chaque retard ajouté coûte un paramètre à estimer, donc de la précision perdue. Le modèle mixte est une affaire d’économie de paramètres.
La définition
La forme habituelle
y_t = \theta + \sum_{i=1}^{p}\alpha_i y_{t-i} + \varepsilon_t + \sum_{j=1}^{q}\beta_j\varepsilon_{t-j}, \qquad \boxed{\alpha_p \neq 0 \ \text{ et } \ \beta_q \neq 0}.
Une partie autorégressive, une partie moyenne mobile, un seul bruit blanc.
La forme polynomiale
A(L)\,y_t = \theta + B(L)\,\varepsilon_t .
A gouverne la stationnarité ; B gouverne l’inversibilité. Chacun garde exactement le rôle qu’il avait dans sa famille d’origine — c’est ce qui rend le cas mixte simple à traiter.
Le cas de référence : ARMA(1,1)
y_t = \theta + \alpha\,y_{t-1} + \varepsilon_t + \beta\,\varepsilon_{t-1}, \qquad (1-\alpha L)y_t = \theta + (1+\beta L)\varepsilon_t . Deux paramètres seulement, et pourtant : une mémoire infinie, dont le premier retard peut être ajusté indépendamment du rythme de décroissance.
Le théorème de Wold
Pourquoi la classe ARMA suffit
La question se pose légitimement : en s’enfermant dans les modèles AR, MA et ARMA, ne se prive-t-on pas de tout ce que les séries stationnaires peuvent faire d’autre ?
Tout processus stationnaire au sens faible, centré et non déterministe, s’écrit de façon unique y_t = \underbrace{\sum_{j\ge0}\psi_j\,\varepsilon_{t-j}}_{\text{partie stochastique}} \;+\; \underbrace{d_t}_{\text{partie déterministe}}, avec \psi_0 = 1, \sum_j\psi_j^2 < \infty, \varepsilon_t \sim \mathrm{WN}(0,\sigma_\varepsilon^2), et d_t parfaitement prévisible à partir du passé lointain.
Lire le théorème
Toute série stationnaire est un bruit blanc filtré. Pas « peut être approchée par », mais est — exactement, et d’une seule façon.
Le filtre du chapitre 2 n’était donc pas une hypothèse de travail commode : c’est la forme générale de la stationnarité.
Ce sont les innovations : \varepsilon_t est l’erreur de la meilleure prévision linéaire de y_t à partir de tout son passé. Ce qui n’était pas prévisible, et rien d’autre.
Ce que le théorème justifie
- La forme MA(\infty) est universelle : chercher un modèle, c’est chercher les \psi_j.
- Un MA(\infty) a une infinité de paramètres, donc n’est pas estimable tel quel. Un ARMA(p,q) en donne une approximation à quelques paramètres, aussi fine qu’on veut.
- Autrement dit : la classe ARMA est dense dans l’ensemble des processus stationnaires. On ne perd rien d’essentiel à s’y restreindre.
Il porte sur la prévision linéaire, et sur elle seule. Les \varepsilon_t sont non corrélés — pas indépendants. Une dépendance non linéaire peut donc subsister intégralement dans la partie « imprévisible ».
Retenez cette réserve : c’est exactement l’espace où logeront les modèles GARCH, et le chapitre 14 y reviendra.
Le principe de parcimonie
L’argument
Entre deux modèles qui ajustent également bien les données, on retient celui qui compte le moins de paramètres.
Chaque paramètre estimé consomme de l’information. Un modèle surchargé ajuste très bien l’échantillon — y compris son bruit — et prévoit mal hors échantillon. C’est le sur-ajustement, et c’est ce que les critères d’information du chapitre 12 pénaliseront explicitement.
Un exemple parlant
Considérons un ARMA(1,1) avec \alpha = 0{,}8. Sa représentation MA infinie a des poids qui décroissent en 0{,}8^j.
Pour approcher cette mémoire par un MA pur avec une erreur inférieure à 1 %, il faudrait aller jusqu’à q \simeq 20 — donc estimer vingt paramètres au lieu de deux.
Le piège des racines communes
Le problème
Si A(L) et B(L) ont une racine commune, elle se simplifie et le modèle se ramène à un ARMA d’ordres inférieurs.
(1-0{,}5L)(1-\alpha L)y_t = (1-0{,}5L)(1+\beta L)\varepsilon_t est un ARMA(2,2) en apparence. En simplifiant par (1-0{,}5L), c’est un ARMA(1,1). Les deux écritures décrivent le même processus.
Pourquoi cela pose un problème pratique
Le modèle n’est plus identifiable : une infinité de couples de paramètres donnent le même ajustement. L’algorithme d’estimation peine à converger, et les écarts-types des coefficients explosent.
Si un ARMA(2,2) donne des coefficients très mal estimés alors qu’un ARMA(1,1) ajuste presque aussi bien, il faut soupçonner une racine commune — et retenir le modèle réduit. C’est le principe de parcimonie, sous sa forme la plus concrète.
La famille au complet
Trois cas particuliers d’une même écriture
| Modèle | p | q | Écriture |
|---|---|---|---|
| Bruit blanc | 0 | 0 | y_t = \varepsilon_t |
| AR(p) | p | 0 | A(L)y_t = \varepsilon_t |
| MA(q) | 0 | q | y_t = B(L)\varepsilon_t |
| ARMA(p,q) | p | q | A(L)y_t = B(L)\varepsilon_t |
Et si la série n’est pas stationnaire
Lorsqu’il faut différencier d fois avant de modéliser : A(L)\,(1-L)^d\,y_t = \theta + B(L)\,\varepsilon_t . Le « I » signifie integrated : la série d’origine est l’intégrale — la somme cumulée — d’un processus ARMA.
Le log-prix est typiquement I(1) : il faut le différencier une fois. Modéliser la rentabilité par un ARMA(p,q) revient donc à modéliser le log-prix par un ARIMA(p,1,q). Les deux formulations sont équivalentes, et l’on travaillera sur la rentabilité.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- ARMA(p,q) : A(L)y_t = \theta + B(L)\varepsilon_t.
- A décide de la stationnarité, B de l’inversibilité.
- La parcimonie n’est pas esthétique : chaque paramètre superflu dégrade la prévision.
- Une racine commune à A et B rend le modèle non identifiable ; il faut simplifier.
- Bruit blanc, AR et MA sont des cas particuliers d’ARMA ; ARIMA ajoute la différenciation.
Nous avons les modèles. Il faut maintenant établir sous quelles conditions ils sont utilisables, puis calculer ce qu’ils prédisent — moments, autocovariances, autocorrélations. C’est ce qui rendra l’identification possible.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
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