Modélisation ARMA des rentabilités financières
Les processus de moyenne mobile MA(q)
- Présentation du cours
- Variable aléatoire et processus stochastique
- La stationnarité
- Le bruit blanc
- L'opérateur retard et l'écriture polynomiale
- Les processus autorégressifs AR(p)
- Les processus de moyenne mobile MA(q)
- Les processus mixtes ARMA(p,q)
- Conditions de stationnarité et d'inversibilité
- Les tests de racine unitaire
- Espérance, variance et fonction d'autocovariance
- Autocorrélation, autocorrélogramme et mémoire
- Box et Jenkins : l'identification
- Le choix du modèle par les critères d'information
- L'estimation : moindres carrés et maximum de vraisemblance
- La validation, et ce que les résidus révèlent
- La prévision : ponctuelle, par intervalle, par densité
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
Modélisation ARMA des rentabilités financières
Chapitre 5 : Les processus de moyenne mobile MA(q)
Avant de commencer
Le choix inverse
L’AR fait dépendre la série de ses propres valeurs passées. Le MA la fait dépendre des chocs passés. Dans un cas, on se souvient d’où l’on était ; dans l’autre, de ce qui est arrivé.
Le processus MA(1)
La forme habituelle
y_t = \theta + \varepsilon_t + \beta\,\varepsilon_{t-1}, \qquad \varepsilon_t \sim \mathrm{WN}(0,\sigma_\varepsilon^2).
La série est une moyenne pondérée d’un petit nombre de chocs consécutifs — une fenêtre qui glisse le long de la suite des innovations. Le nom vient de là, et non d’une moyenne au sens statistique.
La forme polynomiale
y_t = \theta + (1 + \beta L)\,\varepsilon_t
y_t = \theta + B(L)\,\varepsilon_t, \qquad B(L) = 1 + \beta L .
Le contraste d’écriture avec l’AR est instructif : là, le polynôme s’appliquait à y ; ici il s’applique au bruit.
Une mémoire strictement finie
y_t et y_{t-1} partagent le choc \varepsilon_{t-1} : ils sont corrélés.
y_t et y_{t-2} ne partagent aucun choc : ils sont non corrélés, exactement.
L’autocorrélation d’un MA(1) est nulle à partir du retard 2, sans décroissance progressive : elle tombe d’un coup. C’est une signature graphique parfaitement reconnaissable, et c’est elle qui permettra d’identifier q au chapitre 11.
Le processus MA(q)
La forme générale
y_t = \theta + \varepsilon_t + \beta_1\varepsilon_{t-1} + \dots + \beta_q\varepsilon_{t-q} = \theta + B(L)\,\varepsilon_t , B(L) = 1 + \sum_{j=1}^{q}\beta_j L^j , \qquad \boxed{\beta_q \neq 0}.
La mémoire s’éteint exactement après q périodes : \rho_k = 0 pour tout k > q.
Toujours stationnaire
Un MA(q) est toujours stationnaire au sens faible, quelles que soient les valeurs des \beta_j.
La démonstration tient en deux lignes :
\mathrm{E}(y_t) = \mu \quad \text{(constante)}, \qquad \mathrm{V}(y_t) = \sigma_\varepsilon^2\Big(1 + \sum_{j=1}^q \beta_j^2\Big) \quad \text{(constante, finie)} .
Une somme finie de variables non corrélées de variance finie a nécessairement une variance finie. Aucun mécanisme d’accumulation n’est en jeu : il n’y a rien à faire diverger.
L’inversibilité
Le problème de l’identification
Pour un MA(1), on montrera au chapitre 9 que \rho_1 = \frac{\beta}{1+\beta^2}. Or \beta = 0{,}5 et \beta = 2 donnent tous deux \rho_1 = 0{,}4. Les deux modèles sont indiscernables par leurs autocorrélations.
Sans règle supplémentaire, l’estimation n’aurait pas de solution unique. La convention consiste à retenir celui des deux qui est inversible.
La condition
Un MA(q) est inversible si les racines de B(z) = 0 sont de module strictement supérieur à 1. Pour un MA(1), cela revient à |\beta| < 1.
Sous cette condition, on peut inverser B(L) et écrire :
B(L)^{-1}y_t = \varepsilon_t \quad \Longleftrightarrow \quad y_t = -\sum_{j\ge1}\pi_j\,y_{t-j} + \varepsilon_t .
Ce que l’inversibilité signifie vraiment
Un modèle inversible peut se réécrire en AR(∞) : le choc actuel s’exprime en fonction du passé observable de la série. Sans inversibilité, \varepsilon_t dépendrait du futur — et l’on ne pourrait ni l’estimer, ni prévoir.
| Condition | Ce qu’elle permet | |
|---|---|---|
| AR | stationnarité | réécrire en MA(∞) |
| MA | inversibilité | réécrire en AR(∞) |
Les deux conditions sont la même, appliquée à l’un ou l’autre polynôme : racines hors du cercle unité.
AR et MA : la dualité
Le tableau
| AR(p) | MA(q) | |
|---|---|---|
| Écriture | A(L)y_t = \varepsilon_t | y_t = B(L)\varepsilon_t |
| Dépend de | ses valeurs passées | les chocs passés |
| Mémoire | infinie, décroissante | finie, coupée après q |
| Stationnarité | sous condition | toujours |
| Inversibilité | toujours | sous condition |
| Autre écriture | MA(\infty) | AR(\infty) |
Un AR stationnaire est un MA infini ; un MA inversible est un AR infini. Ce sont deux angles sur le même objet — un filtre linéaire appliqué à un bruit blanc.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- MA(q) : y_t = \theta + B(L)\varepsilon_t, une somme finie de chocs passés.
- Sa mémoire s’éteint exactement après q retards : \rho_k = 0 pour k>q.
- Il est toujours stationnaire — somme finie de termes non corrélés.
- L’inversibilité (|\beta|<1 pour un MA(1)) lève l’ambiguïté de l’estimation et permet la réécriture en AR(\infty).
- AR et MA sont duaux : chacun est la forme infinie de l’autre.
Reste à combiner les deux. Non par goût de la généralité, mais par économie : un ARMA fait souvent avec deux paramètres ce qu’un AR pur exigerait d’en estimer huit.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
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