Modélisation ARMA des rentabilités financières
Conditions de stationnarité et d’inversibilité
- Présentation du cours
- Variable aléatoire et processus stochastique
- La stationnarité
- Le bruit blanc
- L'opérateur retard et l'écriture polynomiale
- Les processus autorégressifs AR(p)
- Les processus de moyenne mobile MA(q)
- Les processus mixtes ARMA(p,q)
- Conditions de stationnarité et d'inversibilité
- Les tests de racine unitaire
- Espérance, variance et fonction d'autocovariance
- Autocorrélation, autocorrélogramme et mémoire
- Box et Jenkins : l'identification
- Le choix du modèle par les critères d'information
- L'estimation : moindres carrés et maximum de vraisemblance
- La validation, et ce que les résidus révèlent
- La prévision : ponctuelle, par intervalle, par densité
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
Modélisation ARMA des rentabilités financières
Chapitre 7 : Conditions de stationnarité et d’inversibilité
Avant de commencer
La méthode du chapitre
Nous examinons chaque famille séparément, puis nous dégageons la règle unique qui les couvre toutes.
MA, le cas facile
Toujours stationnaires
Un MA(q) est stationnaire au sens faible quelles que soient les valeurs de \beta_1,\dots,\beta_q.
Vérification directe des trois conditions :
\mathrm{E}(y_t) = \mu, \qquad \mathrm{V}(y_t) = \sigma_\varepsilon^2\Big(1+\sum_{j=1}^q\beta_j^2\Big),
et la covariance \gamma_k ne dépend que du nombre de chocs partagés, donc de k seul.
Une somme finie de variables non corrélées de variance finie a une variance finie. Il n’y a aucun mécanisme d’accumulation à contrôler.
Reste l’inversibilité
Les racines de B(z) = 0 doivent être de module strictement supérieur à 1.
Pour un MA(1) : 1+\beta z = 0 donne z = -1/\beta, de module 1/|\beta|. La condition |z|>1 équivaut donc à |\beta| < 1.
AR, le cas décisif
Partons de l’AR(1)
Reprenons l’inversion du chapitre 3 :
y_t = \sum_{j\ge0}\alpha^j\,\varepsilon_{t-j} \qquad \Longrightarrow \qquad \mathrm{V}(y_t) = \sigma_\varepsilon^2\sum_{j\ge0}\alpha^{2j} = \frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\alpha^2}.
La série géométrique converge si et seulement si |\alpha| < 1. C’est la condition de stationnarité de l’AR(1).
|\alpha|<1 : les chocs anciens sont oubliés, la variance est finie.
\alpha=1 : aucun choc n’est oublié, \mathrm{V}(y_t) = t\,\sigma_\varepsilon^2 croît sans limite.
|\alpha|>1 : les chocs sont amplifiés, la série explose.
La reformulation qui généralise
Écrivons la condition avec le polynôme : A(z) = 1-\alpha z s’annule en z = 1/\alpha, de module 1/|\alpha|.
|\alpha| < 1 \quad \Longleftrightarrow \quad \Big|\frac{1}{\alpha}\Big| > 1 \quad \Longleftrightarrow \quad \text{la racine de } A \text{ est hors du cercle unité.}
La condition portait sur un coefficient ; elle porte désormais sur une racine. C’est cette seconde formulation qui se généralisera à tout ordre p, alors que la première ne le peut pas.
Le cas AR(p)
Un AR(p) est stationnaire si et seulement si toutes les racines de A(z) = 1 - \alpha_1 z - \dots - \alpha_p z^p = 0 sont de module strictement supérieur à 1.
Pour un AR(2), la condition n’est pas |\alpha_1|<1 et |\alpha_2|<1. Le modèle y_t = 0{,}9y_{t-1}+0{,}5y_{t-2}+\varepsilon_t a ses deux coefficients inférieurs à 1 en valeur absolue, et pourtant A(1) = 1-0{,}9-0{,}5 = -0{,}4 < 0 : il existe une racine dans le cercle unité, le processus n’est pas stationnaire.
Le cercle unité
Une vérification rapide
A(1) = 1 - \sum_i \alpha_i > 0 \qquad \text{et} \qquad A(-1) = 1 + \sum_i (-1)^i\alpha_i \ \text{...} En particulier, si \sum_i\alpha_i \ge 1, le processus n’est pas stationnaire.
Alors z=1 est racine : c’est une racine unitaire. Le processus est I(1), il faut le différencier avant de le modéliser. C’est précisément ce que détectent les tests de Dickey-Fuller.
ARMA et la règle générale
Deux conditions indépendantes
- Stationnarité : toutes les racines de A(z)=0 hors du cercle unité.
- Inversibilité : toutes les racines de B(z)=0 hors du cercle unité.
Les deux polynômes jouent des rôles séparés : B n’intervient jamais dans la stationnarité, A jamais dans l’inversibilité.
La règle unique
\boxed{\ \text{Toutes les racines des polynômes de retard doivent être } \textbf{hors du cercle unité.}\ } Appliquée à A, elle donne la stationnarité ; appliquée à B, l’inversibilité.
Dans les deux cas, la condition assure la convergence d’une série géométrique — celle qui exprime y en fonction des \varepsilon passés, ou celle qui exprime \varepsilon en fonction des y passés. Une racine hors du cercle, c’est un poids qui décroît ; une racine dedans, c’est un poids qui enfle.
Le tableau récapitulatif
| Modèle | Stationnarité | Inversibilité |
|---|---|---|
| Bruit blanc | acquise | acquise |
| MA(q) | acquise | racines de B hors du cercle |
| AR(p) | racines de A hors du cercle | acquise |
| ARMA(p,q) | racines de A hors du cercle | racines de B hors du cercle |
Stationnariser en pratique
La démarche
- Regarder la série : tendance visible ? amplitude qui change ?
- Tester la racine unitaire : Dickey-Fuller augmenté, Phillips-Perron, KPSS.
- Transformer si nécessaire : logarithme pour stabiliser la variance, différence première pour éliminer la tendance stochastique.
Différencier une série déjà stationnaire introduit une structure MA artificielle et gonfle la variance. Une seule différenciation suffit presque toujours en finance ; deux sont rarissimes.
Le log-prix est I(1) ; la rentabilité r_t = \Delta\ln P_t est I(0). Le travail de stationnarisation est donc fait dès que l’on choisit de travailler sur les rentabilités — c’est l’une des raisons pour lesquelles la finance les préfère aux prix.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- MA(q) : toujours stationnaire ; inversible si les racines de B sont hors du cercle unité.
- AR(1) : stationnaire si |\alpha|<1, ce qui équivaut à une racine de module >1.
- AR(p) : toutes les racines de A hors du cercle unité — la condition ne se lit pas coefficient par coefficient.
- ARMA : les deux conditions, chacune sur son polynôme.
- Règle unique : toutes les racines hors du cercle unité.
- \sum\alpha_i = 1 signale une racine unitaire : il faut différencier.
Les conditions sont posées. Nous pouvons maintenant calculer ce que ces modèles prédisent : espérance, variance, et surtout la fonction d’autocovariance, dont dépend toute l’identification.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)