Modélisation ARMA des rentabilités financières
L’opérateur retard et l’écriture polynomiale
- Présentation du cours
- Variable aléatoire et processus stochastique
- La stationnarité
- Le bruit blanc
- L'opérateur retard et l'écriture polynomiale
- Les processus autorégressifs AR(p)
- Les processus de moyenne mobile MA(q)
- Les processus mixtes ARMA(p,q)
- Conditions de stationnarité et d'inversibilité
- Les tests de racine unitaire
- Espérance, variance et fonction d'autocovariance
- Autocorrélation, autocorrélogramme et mémoire
- Box et Jenkins : l'identification
- Le choix du modèle par les critères d'information
- L'estimation : moindres carrés et maximum de vraisemblance
- La validation, et ce que les résidus révèlent
- La prévision : ponctuelle, par intervalle, par densité
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
Modélisation ARMA des rentabilités financières
Chapitre 3 : L’opérateur retard et l’écriture polynomiale
Avant de commencer
Pourquoi une notation avant les modèles
On peut écrire tous les modèles du cours sans cet outil. Mais l’étude de la stationnarité, au chapitre 7, deviendrait un calcul pénible au lieu d’être une lecture immédiate. Une bonne notation ne raccourcit pas seulement l’écriture : elle rend le résultat visible.
L’opérateur
Définition
L’opérateur L (pour lag, parfois noté B pour backshift) décale la série d’une période : L\,y_t = y_{t-1}.
En l’appliquant plusieurs fois :
L^2 y_t = L(L y_t) = L y_{t-1} = y_{t-2}, \qquad \text{et en général} \qquad L^k y_t = y_{t-k}.
Ses règles de calcul
- L^0 = \mathrm{Id} : L^0 y_t = y_t.
- L\,c = c pour toute constante : une constante n’a pas de passé.
- Linéarité : L(a\,y_t + b\,z_t) = a\,y_{t-1} + b\,z_{t-1}.
- L^{-1}y_t = y_{t+1} : l’opérateur d’avance.
L se manipule comme un nombre. On peut l’additionner, le multiplier, le mettre en facteur, l’élever à une puissance — et, sous condition, le diviser. C’est ce qui va permettre de traiter les modèles comme des fractions rationnelles.
L’opérateur différence
\Delta = 1 - L, \qquad \text{donc} \qquad \Delta y_t = y_t - y_{t-1}.
r_t = \ln P_t - \ln P_{t-1} = (1-L)\ln P_t = \Delta \ln P_t . Passer du prix à la rentabilité, c’est appliquer l’opérateur \Delta au logarithme du prix. Le chapitre 7 montrera que c’est exactement ce qu’il faut faire pour stationnariser une marche aléatoire.
Les polynômes de retard
Définition
A(L) = 1 - \alpha_1 L - \alpha_2 L^2 - \dots - \alpha_p L^p , B(L) = 1 + \beta_1 L + \beta_2 L^2 + \dots + \beta_q L^q .
La convention place des moins devant les \alpha et des plus devant les \beta. Ce n’est pas de la coquetterie : elle permet d’écrire un AR sous la forme A(L)y_t = \varepsilon_t, tous les termes de la série passés à gauche.
Un exemple à dérouler
A(L)y_t = y_t - 0{,}5\,y_{t-1} - 0{,}2\,y_{t-2}. Poser A(L)y_t = \varepsilon_t revient donc exactement à écrire y_t = 0{,}5\,y_{t-1} + 0{,}2\,y_{t-2} + \varepsilon_t .
Le polynôme caractéristique
On remplace L par une variable complexe z : A(z) = 1 - \alpha_1 z - \dots - \alpha_p z^p . Les valeurs de z qui annulent ce polynôme sont ses racines.
Le comportement de la série tout entière — stationnaire ou non, mémoire courte ou longue — se lira sur la position de ces racines par rapport au cercle unité. C’est le chapitre 7, et c’est cette notation qui le rend possible.
Inverser un polynôme de retard
Le cas le plus simple
Peut-on écrire y_t = \dfrac{1}{1-\alpha L}\,\varepsilon_t ? Traitons L comme un nombre et utilisons la série géométrique :
\frac{1}{1-\alpha L} = 1 + \alpha L + \alpha^2 L^2 + \alpha^3 L^3 + \cdots
Cette somme n’a de sens que si |\alpha| < 1. On dit alors que le polynôme 1-\alpha L est inversible.
Ce que l’inversion révèle
En appliquant la série à \varepsilon_t :
y_t = \varepsilon_t + \alpha\,\varepsilon_{t-1} + \alpha^2\,\varepsilon_{t-2} + \cdots = \sum_{j\ge 0}\alpha^j\,\varepsilon_{t-j}.
La série d’aujourd’hui est la somme de tous les chocs passés, pondérés par un poids qui décroît géométriquement. \alpha mesure la vitesse d’oubli : proche de 0, les chocs s’effacent aussitôt ; proche de 1, ils marquent la série longtemps.
Les poids ne décroissent plus : les chocs anciens comptent autant ou davantage que les récents. La somme diverge, la variance est infinie, le processus n’est pas stationnaire. C’est déjà toute la condition du chapitre 7, obtenue par le calcul le plus élémentaire.
Deux représentations, un même processus
\underbrace{A(L)\,y_t = \varepsilon_t}_{\text{forme AR, finie}} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \underbrace{y_t = A(L)^{-1}\varepsilon_t}_{\text{forme MA infinie}}
La forme AR est compacte : peu de paramètres à estimer. La forme MA rend les calculs de variance et d’autocovariance immédiats, puisque les \varepsilon y sont non corrélés. On passera constamment de l’une à l’autre.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- L^k y_t = y_{t-k} ; L se manipule comme un nombre.
- \Delta = 1-L ; la rentabilité est la différence première du log-prix.
- A(L) = 1-\alpha_1L-\dots-\alpha_pL^p (signes négatifs), B(L) = 1+\beta_1L+\dots+\beta_qL^q.
- \dfrac{1}{1-\alpha L} = \sum_{j\ge0}\alpha^jL^j, sous la condition |\alpha|<1.
- Inverser un polynôme, c’est passer d’une écriture finie à une somme pondérée de tous les chocs passés.
Munis de cette notation, nous pouvons construire la première famille : les processus qui s’expliquent par leur propre passé.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
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