Statistique inférentielle
Les trois lois de l’inférence
- Présentation du cours
- La troisième face
- Échantillonner
- La distribution d'échantillonnage de la moyenne
- Proportion et variance
- Les trois lois de l'inférence
- Estimateur et biais
- Les qualités d'un estimateur
- Construire un estimateur
- Le principe de l'intervalle de confiance
- L'intervalle pour une moyenne
- Proportion et variance : les intervalles
- Choisir la taille de l'échantillon
- La logique d'un test
- Les deux risques et la puissance
- La p-value
- Tester une moyenne, tester une proportion
- Comparer deux groupes
- L'analyse de la variance
- Les tests du khi-deux
- La régression devient un modèle
- Tester un coefficient
- Mise en œuvre sur R et Python
Statistique inférentielle
Chapitre 4 : Les trois lois de l’inférence
Une dette envers les probas
Trois lois présentées, jamais employées
Le chapitre 18 des probabilités les annonçait
Khi-deux, Student et Fisher y étaient définies comme des lois fabriquées à partir de la normale — sans qu’aucun phénomène économique ne les suive.
Il était dit qu’elles ne serviraient qu’aux tests. Nous y sommes.
Leur point commun
Aucune ne décrit une population. Toutes décrivent le comportement d’une statistique calculée sur un échantillon :
- une variance estimée ;
- une moyenne dont on a dû estimer l’écart-type ;
- un rapport de deux variances estimées.
Les trois, ensemble
La loi de Student
D’où elle vient
Le problème
Le chapitre 2 a établi que \dfrac{\overline{X}-m}{\sigma/\sqrt{n}} suit une loi normale.
Mais \sigma est un paramètre de la population : inconnu. On le remplace par s, calculé sur l’échantillon — et la quantité change de loi.
Le résultat
T = \frac{\overline{X}-m}{s/\sqrt{n}} \;\sim\; \text{Student à } n-1 \text{ degrés de liberté}
Ce que la substitution coûte
Deux sources d’incertitude au lieu d’une
Au numérateur, \overline{X} varie. Au dénominateur, s varie aussi.
Quand un petit échantillon donne par hasard un s trop petit, le rapport explose. C’est pourquoi Student a des queues plus épaisses que la normale : les valeurs extrêmes y sont plus fréquentes.
Le prix, chiffré
| Degrés de liberté | Quantile à 97{,}5\,\% | Surcoût |
|---|---|---|
| 5 | 2{,}571 | +31\,\% |
| 10 | 2{,}228 | +14\,\% |
| 30 | 2{,}042 | +4\,\% |
| \infty | 1{,}960 | — |
Sur notre échantillon
Cinquante salariés
n = 50, donc \nu = 49 degrés de liberté, et t_{0{,}975\,;49} = 2{,}010.
Contre 1{,}96 pour la normale : un élargissement de 2{,}6\,\% — négligeable, mais gratuit à prendre en compte.
La règle pratique
Utilisez toujours Student dès que \sigma est inconnu, c’est-à-dire pratiquement toujours.
Les logiciels le font sans qu’on le demande. Au-delà de trente observations, la différence ne se voit plus — mais elle ne coûte rien, et en dessous elle est indispensable.
Le khi-deux et Fisher
Le khi-deux : là où l’on additionne des carrés
Deux apparitions dans le cours
\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} \qquad\qquad \sum_{\text{cases}} \frac{(\text{observé}-\text{attendu})^2}{\text{attendu}} \sim \chi^2
Estimation d’une variance d’un côté ; tests d’adéquation et d’indépendance de l’autre.
Le signe qui ne trompe pas
Dès qu’une procédure additionne des écarts au carré, un khi-deux apparaît.
Deux conséquences immédiates : la loi est positive, et le test est toujours unilatéral à droite — seuls les grands écarts contredisent l’hypothèse.
Fisher : là où l’on compare deux variances
Un rapport de deux khi-deux
F = \frac{\chi^2_{d_1}/d_1}{\chi^2_{d_2}/d_2}
Deux degrés de liberté, un pour chaque variance comparée.
Ses deux emplois
L’analyse de la variance (chapitre 17) compare la dispersion entre les groupes à la dispersion à l’intérieur des groupes.
Le test global d’une régression (chapitre 20) compare la variance expliquée à la variance résiduelle. Le « F de Fisher » qu’affiche tout logiciel d’économétrie sort de là.
La carte, en une ligne
Quelle loi pour quelle statistique
| Ce que l’on calcule | Loi à lire |
|---|---|
| une moyenne, \sigma connu | normale |
| une moyenne, \sigma estimé | Student, n-1 ddl |
| une proportion, n grand | normale |
| une variance | khi-deux, n-1 ddl |
| des effectifs de tableau | khi-deux |
| un rapport de variances | Fisher |
Le seul réflexe à acquérir
La question n’est jamais « quelle formule ? » mais « quelle statistique ai-je calculée ? ».
La statistique détermine la loi ; la loi fournit le seuil ; le seuil donne la conclusion. Cet enchaînement est celui de tous les chapitres qui suivent, sans exception.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Khi-deux, Student et Fisher décrivent des statistiques d’échantillon, jamais des populations.
- Student apparaît dès qu’on remplace \sigma par s : queues plus épaisses, prix de l’ignorance.
- Ce prix vaut 31\,\% à cinq degrés de liberté, 4\,\% à trente, zéro à l’infini.
- Khi-deux apparaît dès qu’on additionne des écarts au carré ; le test est toujours unilatéral à droite.
- Fisher apparaît dès qu’on compare deux variances : ANOVA et régression.
- La statistique calculée détermine la loi à lire — c’est le seul enchaînement à retenir.
La suite
La boîte à outils est complète : nous savons comment se comportent la moyenne, la proportion et la variance d’un échantillon.
La troisième partie s’en sert pour répondre à la première question de l’inférence : quelle valeur unique retenir pour le paramètre ?
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)