Statistique inférentielle
Proportion et variance : les intervalles
- Présentation du cours
- La troisième face
- Échantillonner
- La distribution d'échantillonnage de la moyenne
- Proportion et variance
- Les trois lois de l'inférence
- Estimateur et biais
- Les qualités d'un estimateur
- Construire un estimateur
- Le principe de l'intervalle de confiance
- L'intervalle pour une moyenne
- Proportion et variance : les intervalles
- Choisir la taille de l'échantillon
- La logique d'un test
- Les deux risques et la puissance
- La p-value
- Tester une moyenne, tester une proportion
- Comparer deux groupes
- L'analyse de la variance
- Les tests du khi-deux
- La régression devient un modèle
- Tester un coefficient
- Mise en œuvre sur R et Python
Statistique inférentielle
Chapitre 10 : Proportion et variance
Intervalle pour une proportion
La formule
Intervalle de confiance d’une proportion
\boxed{\;f \;\pm\; z_{\alpha/2}\,\sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\;}
valable si nf \geq 5 et n(1-f) \geq 5.
Une entorse assumée
L’écart-type théorique fait intervenir p, que l’on cherche justement à estimer. On le remplace donc par f.
C’est une approximation, non un théorème. Elle est acceptable dès que n dépasse quelques dizaines, et c’est la formule que tout le monde emploie.
Sur nos données
La part de diplômés Bac+5
Sur les 50 salariés de l’échantillon, 13 sont titulaires d’un Bac+5.
f = \frac{13}{50} = 0{,}26 \qquad \sqrt{\frac{0{,}26 \times 0{,}74}{50}} = 0{,}0620
\text{IC}_{95\,\%} = 0{,}26 \pm 1{,}96 \times 0{,}0620 = [\,0{,}138 \;;\; 0{,}382\,]
La vérification, et la leçon
La proportion réelle vaut 0{,}214 : elle est bien dans l’intervalle.
Mais celui-ci s’étend de 14\,\% à 38\,\% — presque du simple au triple. Cinquante observations ne permettent pas d’estimer une proportion avec finesse, et c’est un ordre de grandeur qu’il faut avoir en tête avant de commander une enquête.
La marge d’erreur, telle qu’on l’annonce
Pourquoi les proportions exigent de gros échantillons
Comparaison des deux paramètres
| Paramètre | Estimation | Demi-largeur | En part de la valeur |
|---|---|---|---|
| Moyenne | 7\,005{,}80 | \pm 640 | 9\,\% |
| Proportion | 0{,}26 | \pm 0{,}122 | 47\,\% |
L’explication
Une variable indicatrice ne prend que deux valeurs : elle est extrêmement pauvre en information. Chaque observation n’apporte qu’un bit.
C’est pourquoi les sondages politiques interrogent mille personnes là où une enquête de salaires en interroge cent : estimer une proportion coûte structurellement plus cher.
L’intervalle pour une variance
Une construction différente
La loi utilisée
\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \;\sim\; \chi^2_{n-1}
L’intervalle s’obtient en encadrant cette quantité par les deux quantiles du khi-deux, puis en isolant \sigma^2.
La formule
\boxed{\;\left[\;\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2\,;\,n-1}} \;;\; \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2\,;\,n-1}}\;\right]\;}
Ce qui change par rapport aux deux autres
Trois différences à repérer
- L’intervalle n’est pas symétrique autour de s^2 : la loi du khi-deux ne l’est pas.
- Il n’y a pas de \pm : les deux bornes se calculent séparément.
- Les quantiles sont inversés : le grand quantile va au dénominateur de la borne inférieure.
Sur nos données
n = 50, \;s^2 = 5\,066\,894, \;\nu = 49.
\chi^2_{0{,}975\,;49} = 70{,}222 \qquad \chi^2_{0{,}025\,;49} = 31{,}555
\text{IC}_{95\,\%}(\sigma^2) = \left[\frac{49 \times 5\,066\,894}{70{,}222}\;;\;\frac{49 \times 5\,066\,894}{31{,}555}\right] = [\,3\,535\,592\,;\,7\,868\,118\,]
En écart-type
On prend la racine des deux bornes
\text{IC}_{95\,\%}(\sigma) = [\,1\,880{,}3 \;;\; 2\,805{,}0\,]
La valeur réelle, \sigma = 2\,598{,}10, est bien dans l’intervalle.
Prendre la racine est ici légitime
La racine est une fonction croissante : elle conserve l’ordre des bornes, donc le niveau de confiance.
Attention toutefois : cet intervalle est correct pour \sigma, mais son centre n’est pas s — la transformation déplace le milieu.
La fragilité de cet intervalle
Une condition beaucoup plus stricte
La loi \chi^2 pour s^2 exige que la population soit normale. Contrairement à l’intervalle de la moyenne, aucun théorème central limite ne vient sauver le cas général.
Sur une population à queues épaisses — rendements financiers, montants de sinistres — cet intervalle peut être gravement faux, même avec un grand n.
Le contraste à retenir
\overline{X} \text{ est robuste à la non-normalité} \qquad s^2 \text{ ne l'est pas}
C’est un point que beaucoup d’utilisateurs ignorent, et c’est l’une des raisons pour lesquelles l’estimation de la volatilité est un sujet difficile en finance.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Proportion : \;f \pm z_{\alpha/2}\sqrt{f(1-f)/n}, valable si nf \geq 5 et n(1-f) \geq 5.
- Sur 50 observations : [0{,}138\,;0{,}382] — très large. Une proportion exige un gros échantillon.
- Variance : intervalle asymétrique, construit sur le khi-deux, sans \pm.
- Les quantiles y sont croisés : le grand au dénominateur de la borne basse.
- Pour \sigma, on prend la racine des deux bornes : [1\,880{,}3\,;2\,805{,}0].
- L’intervalle de la variance exige la normalité de la population ; celui de la moyenne, non.
La suite
Tous ces intervalles se sont révélés larges. La question qui vient naturellement est celle du gestionnaire : combien d’observations faut-il pour atteindre la précision voulue ?
Le chapitre 11 y répond par une formule, et par un calcul de budget.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)