Statistique inférentielle
L’intervalle pour une moyenne
- Présentation du cours
- La troisième face
- Échantillonner
- La distribution d'échantillonnage de la moyenne
- Proportion et variance
- Les trois lois de l'inférence
- Estimateur et biais
- Les qualités d'un estimateur
- Construire un estimateur
- Le principe de l'intervalle de confiance
- L'intervalle pour une moyenne
- Proportion et variance : les intervalles
- Choisir la taille de l'échantillon
- La logique d'un test
- Les deux risques et la puissance
- La p-value
- Tester une moyenne, tester une proportion
- Comparer deux groupes
- L'analyse de la variance
- Les tests du khi-deux
- La régression devient un modèle
- Tester un coefficient
- Mise en œuvre sur R et Python
Statistique inférentielle
Chapitre 9 : L’intervalle pour une moyenne
La construction
L’inégalité, et son retournement
Le cas où \sigma est connu
La formule
\boxed{\;\overline{x} \;\pm\; z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\;}
avec z_{0{,}025} = 1{,}96 pour une confiance de 95\,\%.
Un cas d’école, et il faut le dire
Connaître \sigma sans connaître m est une situation artificielle : les deux se calculent sur les mêmes données.
Cette formule sert de point de départ pédagogique, et s’emploie réellement dans un seul cas — un processus industriel dont la dispersion est stabilisée et documentée de longue date.
Le cas réel
Quand \sigma est inconnu
La formule à retenir
L’intervalle de Student
\boxed{\;\overline{x} \;\pm\; t_{\alpha/2\,;\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}\;}
où s est l’écart-type corrigé, calculé en divisant par n-1.
Deux modifications, pas une
On remplace \sigma par s — c’est la première. Et l’on change de table, passant de la normale à Student — c’est la seconde.
Oublier la seconde donne un intervalle trop étroit, donc un niveau de confiance réel inférieur à celui annoncé. L’erreur est invisible et flatteuse : c’est ce qui la rend fréquente.
L’application complète
Nos cinquante salariés, pas à pas
\overline{x} = 7\,005{,}80 \qquad s = 2\,250{,}98 \qquad n = 50
1. L’erreur-type : \;s/\sqrt{n} = 2\,250{,}98/7{,}071 = 318{,}34.
2. Le quantile : \;\nu = 49 degrés de liberté, t_{0{,}025\,;49} = 2{,}010.
3. La demi-largeur : \;2{,}010 \times 318{,}34 = 639{,}86.
\text{IC}_{95\,\%} = [\,6\,365{,}94 \;;\; 7\,645{,}66\,]
La vérification que seul ce cours permet
Nous connaissons la réponse
m = 7\,158{,}26, et l’intervalle est [6\,365{,}94\,;7\,645{,}66].
Le paramètre est bien dedans. La méthode a fonctionné — cette fois. La figure du chapitre 8 rappelle qu’elle échoue trois à cinq fois sur cent.
Ce que l’on peut en dire
La demi-largeur vaut 640 dirhams, soit 9\,\% de la moyenne. C’est large pour négocier une grille salariale au dirham près, et suffisant pour se comparer à un secteur.
La question « est-ce assez précis ? » n’a pas de réponse statistique : elle dépend de la décision à prendre.
Les conditions de validité
Quand la formule est-elle légitime
| Situation | Condition |
|---|---|
| Population normale | aucune, quel que soit n |
| Population quelconque | n \geq 30 (théorème central limite) |
| Petit échantillon non normal | aucune formule simple |
Le troisième cas est le vrai problème
Sur quinze observations issues d’une distribution très dissymétrique, ni la normale ni Student ne s’appliquent.
Les solutions existent — méthodes non paramétriques, rééchantillonnage — mais elles dépassent ce cours. Le réflexe correct est alors de le dire, plutôt que d’appliquer une formule invalide.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- L’intervalle s’obtient en retournant l’inégalité sur \overline{X} ; rien de nouveau n’est introduit.
- \sigma connu : \;\overline{x} \pm z_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt{n} — un cas d’école.
- \sigma inconnu : \;\overline{x} \pm t_{\alpha/2\,;n-1}\,s/\sqrt{n} — le cas réel.
- Deux modifications à la fois : s à la place de \sigma, et Student à la place de la normale.
- Sur nos données : [6\,365{,}94\,;7\,645{,}66], qui contient bien m = 7\,158{,}26.
- Validité : population normale, ou n \geq 30. En dessous et hors normalité, il n’y a pas de formule simple.
La suite
Un taux de rebut, une part de marché, une dispersion de qualité ne sont pas des moyennes.
Le chapitre 10 traite les deux autres paramètres du cours — la proportion et la variance — et l’un des deux réserve une surprise.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)