Statistique inférentielle

Mise en œuvre sur R et Python

Statistique inférentielle

Statistique inférentielle

Chapitre 21 : Mise en œuvre sur R et Python

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

24 septembre 2026

Le programme

Refaire les vingt et un chapitres

Ce que ce chapitre reprend
Ce qu’on refait Chapitres
Distributions d’échantillonnage, par simulation 3 à 5
Intervalles de confiance 9 à 12
Tests de moyenne et de proportion 16
Comparaisons, ANOVA, khi-deux 17 à 19
Régression et test de coefficient 20, 21
Le but n’est pas d’apprendre un logiciel

C’est de vérifier que chaque nombre calculé à la main est bien celui qu’affiche la machine — et de voir qu’une fonction en remplace une page.

Comprendre la formule reste indispensable : c’est ce qui permet de choisir la bonne fonction et de reconnaître une sortie aberrante.

Sur R

Charger et tirer l’échantillon

sal <- read.csv("salaires.csv", stringsAsFactors = TRUE)

# La population
mean(sal$salaire)                          # 7158.26
sd(sal$salaire) * sqrt(499/500)            # 2598.10  (ecart-type de population)

# L'echantillon fil rouge : un identifiant sur dix
ech <- subset(sal, id %% 10 == 0)
nrow(ech)                                  # 50
mean(ech$salaire)                          # 7005.80
sd(ech$salaire)                            # 2250.98
Deux écarts-types, deux touches

sd() divise par n-1 : c’est l’estimateur du chapitre 3.

Pour l’écart-type d’une population complète, il faut multiplier par \sqrt{(n-1)/n}. R ne propose pas la seconde formule, parce qu’elle ne sert qu’en statistique descriptive.

Intervalle de confiance et test de moyenne

t.test(ech$salaire, mu = 6500, alternative = "greater")

#   t = 1.5889, df = 49, p-value = 0.05933
#   95 percent confidence interval:  6470.05    Inf
#   sample estimates: mean of x  7005.80

t.test(ech$salaire)$conf.int               # 6365.94  7645.66
Une seule fonction fait tout

t.test() donne la statistique, les degrés de liberté, la p-value, l’intervalle et l’estimation — les cinq étapes du chapitre 12 en une ligne.

alternative vaut "two.sided" par défaut, "greater" ou "less" pour un test unilatéral.

Proportion, comparaison, ANOVA, khi-deux

# Proportion : 13 Bac+5 sur 50, contre 15 % annonces
prop.test(13, 50, p = 0.15, correct = FALSE)      # X-squared = 4.745, p = 0.0294

# Deux groupes
t.test(salaire ~ sexe, data = sal)                # t = -0.0012, p = 0.9991

# Trois groupes
summary(aov(salaire ~ diplome, data = sal))       # F = 86.28, p < 2e-16

# Independance de deux caracteres
chisq.test(table(sal$diplome, sal$sexe))          # X-squared = 0.2292, df = 2, p = 0.8917
Un détail qui change le résultat

prop.test() applique par défaut une correction de continuité. Avec correct = FALSE, on retrouve exactement le z^2 = 2{,}178^2 = 4{,}745 du chapitre 15.

Les deux sont défendables ; ce qui ne l’est pas, c’est de ne pas savoir laquelle on emploie.

La régression

mod <- lm(salaire ~ anciennete, data = sal)
summary(mod)
confint(mod)

# Coefficients:
#              Estimate  Std. Error  t value  Pr(>|t|)
# (Intercept)  4347.23     177.18     24.54   < 2e-16
# anciennete    277.17      15.06     18.41   < 2e-16
#
# Residual standard error: 2008 on 498 degrees of freedom
# Multiple R-squared: 0.4049,  F-statistic: 338.8 on 1 and 498 DF
Chaque nombre a été calculé à la main

277{,}17 au chapitre 19, 15{,}06 et 18{,}41 au chapitre 20, 2\,008 et 0{,}4049 également.

Le logiciel n’ajoute rien : il calcule plus vite.

Sur Python

Les mêmes opérations

import pandas as pd, numpy as np
from scipy import stats

sal = pd.read_csv("salaires.csv")
ech = sal[sal.id % 10 == 0]

ech.salaire.mean()                    # 7005.80
ech.salaire.std()                     # 2250.98   (ddof=1 par defaut)

Les mêmes opérations (suite)

stats.ttest_1samp(ech.salaire, 6500, alternative="greater")
#   statistic=1.5889, pvalue=0.0593

stats.ttest_ind(sal[sal.sexe=="H"].salaire,
                sal[sal.sexe=="F"].salaire, equal_var=False)
#   statistic=-0.0012, pvalue=0.9991
Deux conventions opposées, à connaître

pandas.std() divise par n-1 ; numpy.std() divise par n.

Sur cinq cents observations l’écart est invisible ; sur dix il est de 5\,\%. C’est la source d’erreur la plus fréquente du passage de R à Python.

ANOVA, khi-deux et régression

import statsmodels.formula.api as smf

# ANOVA
groupes = [g.salaire.values for _, g in sal.groupby("diplome")]
stats.f_oneway(*groupes)              # F=86.28, p=3.4e-33

# Independance
stats.chi2_contingency(pd.crosstab(sal.diplome, sal.sexe))
#   chi2=0.2292, dof=2, p=0.8917

# Regression
mod = smf.ols("salaire ~ anciennete", data=sal).fit()
print(mod.summary())
mod.conf_int()                        # 247.65   306.68
La correspondance des fonctions
R Python
t.test stats.ttest_1samp, ttest_ind
prop.test statsmodels.stats.proportion
aov stats.f_oneway
chisq.test stats.chi2_contingency
lm smf.ols

Vérifier les théorèmes

La distribution d’échantillonnage, par simulation

set.seed(2024)
moyennes <- replicate(20000, mean(sample(sal$salaire, 40)))

mean(moyennes)      # 7159.8   ->  m = 7158.26
sd(moyennes)        # 392.6    ->  sigma/sqrt(40) = 410.8
                    #              avec correction finie : 394.4

hist(moyennes, breaks = 50, freq = FALSE)
curve(dnorm(x, 7158.26, 394.42), add = TRUE, col = "red", lwd = 2)
Trois vérifications d’un coup

La moyenne des moyennes tombe sur m ; leur écart-type sur \sigma/\sqrt{n} corrigé ; et l’histogramme épouse la cloche, alors que les salaires ne sont pas normaux.

Cinq lignes reproduisent tout le chapitre 2.

La couverture des intervalles

set.seed(7)
couvre <- replicate(10000, {
  e  <- sample(sal$salaire, 40)
  ic <- t.test(e)$conf.int
  ic[1] <= 7158.26 & 7158.26 <= ic[2]
})
mean(couvre)        # 0.9503
La démonstration la plus convaincante du cours

Sur dix mille échantillons, 95{,}03\,\% des intervalles contiennent la vraie moyenne.

C’est très exactement ce que promettait le chapitre 8 — et c’est une chose de le lire, une autre de le vérifier sur sa propre machine. Faites tourner ce bloc : il vaut trois heures d’explication.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Six points
  1. t.test, prop.test, aov, chisq.test, lm : cinq fonctions couvrent tout le cours sous R.
  2. t.test() donne à la fois le test et l’intervalle — les deux faces du chapitre 15.
  3. prop.test(correct = FALSE) retrouve exactement le z calculé à la main.
  4. Attention aux conventions : pandas.std() divise par n-1, numpy.std() par n.
  5. Toute la sortie de lm a été calculée à la main aux chapitres 19 et 20.
  6. Quelques lignes de simulation vérifient la distribution d’échantillonnage et la couverture des intervalles.
La fin du parcours

Nous sommes partis de cinq cents salaires que l’on se contentait de décrire. Nous arrivons à un modèle qui les explique, avec la mesure de sa fiabilité.

Entre les deux, une seule idée aura tout porté : une statistique calculée sur un échantillon est une variable aléatoire, et l’on connaît sa loi. Estimer, encadrer, tester, régresser n’en sont que quatre usages.

L’introduction à l’économétrie prend la suite immédiate : mêmes outils, plusieurs variables explicatives, et l’examen systématique des hypothèses du chapitre 19.

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Ressources du chapitre