Statistique inférentielle
La distribution d’échantillonnage de la moyenne
- Présentation du cours
- La troisième face
- Échantillonner
- La distribution d'échantillonnage de la moyenne
- Proportion et variance
- Les trois lois de l'inférence
- Estimateur et biais
- Les qualités d'un estimateur
- Construire un estimateur
- Le principe de l'intervalle de confiance
- L'intervalle pour une moyenne
- Proportion et variance : les intervalles
- Choisir la taille de l'échantillon
- La logique d'un test
- Les deux risques et la puissance
- La p-value
- Tester une moyenne, tester une proportion
- Comparer deux groupes
- L'analyse de la variance
- Les tests du khi-deux
- La régression devient un modèle
- Tester un coefficient
- Mise en œuvre sur R et Python
Statistique inférentielle
Chapitre 2 : La distribution d’échantillonnage de la moyenne
L’objet central du cours
Deux graphiques qui n’ont pas le même objet
La définition
Distribution d’échantillonnage
La distribution d’échantillonnage d’une statistique est la loi de probabilité des valeurs qu’elle prend lorsqu’on répète le tirage d’échantillons de même taille dans la même population.
Le changement d’objet, à saisir une fois pour toutes
La population des salaires décrit des salariés. La distribution d’échantillonnage décrit des moyennes d’échantillons.
Ce ne sont pas les mêmes individus, pas les mêmes unités de raisonnement, et surtout pas le même étalement. Confondre les deux est l’erreur qui rend le reste du cours incompréhensible.
Les deux premiers moments
Espérance et écart-type de la moyenne
Le résultat, démontré au chapitre 19 des probabilités
Pour un échantillon aléatoire de taille n tiré dans une population d’espérance m et d’écart-type \sigma :
E(\overline{X}) = m \qquad\qquad \sigma(\overline{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
Erreur-type
La quantité \sigma/\sqrt{n} porte un nom propre : l’erreur-type de la moyenne.
Ce n’est pas l’écart-type des données. C’est l’écart-type des moyennes — combien la moyenne d’échantillon se trompe, typiquement.
Vérification sur nos données
Vingt mille échantillons de taille 40
| Grandeur | Théorie | Simulation |
|---|---|---|
| Espérance de \overline{X} | 7\,158{,}26 | 7\,159{,}81 |
| Erreur-type \sigma/\sqrt{n} | 410{,}80 | 392{,}61 |
L’écart sur l’erreur-type n’est pas une erreur
392{,}61 au lieu de 410{,}80 : la simulation est trop précise, et systématiquement.
La raison est simple : nous tirons sans remise dans une population de seulement 500 individus. Un échantillon de 40 en représente déjà 8\,\% : il ne peut pas se tromper autant qu’un tirage dans une population infinie.
La correction de population finie
Le facteur d’exhaustivité
\sigma(\overline{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\times\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}
Ici : 410{,}80 \times \sqrt{460/499} = 394{,}42 — la valeur simulée, à un dixième près.
Quand faut-il l’appliquer
La règle usuelle : dès que n dépasse 5\,\% de N.
Elle joue toujours dans le bon sens — elle réduit l’erreur-type — et elle s’annule quand n = N : sur un recensement complet, la moyenne d’échantillon est la moyenne, et son erreur est nulle. La formule le dit toute seule.
La forme de la distribution
L’effet de la taille de l’échantillon
Deux théorèmes, une seule figure
Ce qui se produit quand n grandit
- La forme devient normale — c’est le théorème central limite.
- L’étalement se resserre en 1/\sqrt{n} — c’est la loi des grands nombres.
Ils ne disent pas la même chose
Le premier autorise à lire une table normale, donc à calculer des probabilités.
Le second dit de combien on gagne à interroger davantage de monde. Le premier rend l’inférence possible ; le second en fixe le prix.
Le théorème, sous sa forme utile
Les deux cas
Population normale : \overline{X} suit exactement une loi normale, quel que soit n.
Population quelconque, n grand : \overline{X} suit approximativement \mathcal{N}\!\left(m\,;\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
Z = \frac{\overline{X} - m}{\sigma/\sqrt{n}} \;\approx\; \mathcal{N}(0\,;1)
La règle des trente, et sa vraie portée
n \geq 30 est une convention commode, pas un théorème. Elle suffit largement pour une population modérément dissymétrique — comme nos salaires.
Pour une distribution très étirée — patrimoines, sinistres, durées de chômage — il faut bien davantage. Le bon réflexe est de regarder l’histogramme avant d’invoquer la règle.
Un premier usage
Encadrer la moyenne d’un échantillon
Que peut donner un échantillon de 50 ?
Avec m = 7\,158{,}26 et \sigma = 2\,598{,}10, l’erreur-type vaut 2\,598{,}10/\sqrt{50} = 367{,}44.
P\big(7\,158{,}26 - 1{,}96\times 367{,}44 \;\leq\; \overline{X} \;\leq\; 7\,158{,}26 + 1{,}96\times 367{,}44\big) = 0{,}95
\overline{X} \in [\,6\,438{,}08\,;\;7\,878{,}44\,] \text{ dans } 95\,\% \text{ des cas}
Attention au sens de lecture
Cet encadrement porte sur \overline{X}, connaissant m. C’est encore du calcul des probabilités : on descend de la population vers l’échantillon.
Notre moyenne observée, 7\,005{,}80, tombe bien dans cet intervalle. Le chapitre 9 retournera l’inégalité pour encadrer m à partir de \overline{x} — et ce sera enfin de l’inférence.
L’ordre de grandeur qu’il faut avoir en tête
Quelques erreurs-types, sur nos salaires
| n | \sigma/\sqrt{n} | Écart typique |
|---|---|---|
| 10 | 821{,}6 | énorme |
| 50 | 367{,}4 | acceptable |
| 200 | 183{,}7 | confortable |
| 500 | 116{,}2 | tout le monde est interrogé |
Ce que le gestionnaire doit en conclure
Sur dix bulletins de paie, la moyenne peut se tromper de huit cents dirhams : elle ne permet aucune décision.
Sur deux cents, elle se trompe d’environ deux cents dirhams : on peut négocier une grille salariale. La taille d’échantillon n’est pas une contrainte technique, c’est une variable de décision — et le chapitre 11 la calculera.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- La distribution d’échantillonnage est la loi des valeurs prises par une statistique d’un échantillon à l’autre.
- Elle décrit des moyennes, non des individus : ce ne sont pas les mêmes objets.
- E(\overline{X}) = m et \sigma(\overline{X}) = \sigma/\sqrt{n} : cette dernière s’appelle l’erreur-type.
- Au-delà de 5\,\% de N, la correction de population finie réduit l’erreur-type.
- Le théorème central limite rend \overline{X} approximativement normale, quelle que soit la population de départ.
- La règle n \geq 30 est une convention, non un théorème.
La suite
Une moyenne n’est pas la seule statistique utile. Un taux de rebut, un taux d’équipement, une dispersion de qualité : ce sont des proportions et des variances.
Le chapitre 3 établit leurs distributions d’échantillonnage — et rencontre au passage l’énigme du n-1.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)