Statistique inférentielle
Choisir la taille de l’échantillon
- Présentation du cours
- La troisième face
- Échantillonner
- La distribution d'échantillonnage de la moyenne
- Proportion et variance
- Les trois lois de l'inférence
- Estimateur et biais
- Les qualités d'un estimateur
- Construire un estimateur
- Le principe de l'intervalle de confiance
- L'intervalle pour une moyenne
- Proportion et variance : les intervalles
- Choisir la taille de l'échantillon
- La logique d'un test
- Les deux risques et la puissance
- La p-value
- Tester une moyenne, tester une proportion
- Comparer deux groupes
- L'analyse de la variance
- Les tests du khi-deux
- La régression devient un modèle
- Tester un coefficient
- Mise en œuvre sur R et Python
Statistique inférentielle
Chapitre 11 : Choisir la taille de l’échantillon
La question du commanditaire
Un renversement de la formule
On connaît la réponse avant de collecter
Les chapitres précédents partaient de n pour obtenir une précision. Ici on part de la précision voulue et l’on en déduit n.
C’est le seul ordre correct en pratique : la taille d’échantillon se décide avant la collecte, jamais après.
Pour une moyenne
e = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{e}\right)^{2}\;}
où e est la demi-largeur acceptée.
La difficulté, et comment on la contourne
La formule demande un écart-type que l’on ignore
Trois solutions, dans l’ordre de préférence :
- une étude antérieure sur la même population ;
- un pré-test sur trente observations ;
- la règle de l’étendue : \sigma \approx (\text{max} - \text{min})/4.
Sur nos salaires
Avec \sigma \approx 2\,598 et une confiance de 95\,\% :
| Précision voulue | n nécessaire |
|---|---|
| \pm 500 dh | 104 |
| \pm 300 dh | 288 |
| \pm 150 dh | 1\,153 |
| \pm 100 dh | 2\,593 |
Le cas d’une proportion
La formule et son maximum
Pour une proportion
n = \frac{z_{\alpha/2}^2\;p(1-p)}{e^2}
Ne connaissant pas p, on prend p = 0{,}5, qui maximise p(1-p) et donne donc la taille la plus grande — donc sûre.
Les valeurs à connaître
| Marge d’erreur | n |
|---|---|
| \pm 5\,\% | 384 |
| \pm 3\,\% | 1\,068 |
| \pm 2\,\% | 2\,401 |
| \pm 1\,\% | 9\,604 |
Le coût de la précision
Ce que la courbe impose
La précision est un bien à rendement décroissant
n varie comme 1/e^2 : diviser la marge par deux quadruple la taille, donc à peu près le budget.
Passer de \pm 3\,\% à \pm 1\,\% multiplie le coût par neuf pour gagner deux points.
Pourquoi tous les sondages font mille personnes
Ce n’est ni une tradition ni une contrainte réglementaire : c’est le point où la courbe s’aplatit.
En dessous, on gagne beaucoup de précision pour peu d’argent. Au-dessus, on dépense beaucoup pour presque rien. Mille est un optimum économique, pas un chiffre rond.
Le résultat qui surprend toujours
La taille de la population n’intervient pas
La formule ne contient pas N.
Estimer une proportion à \pm 3\,\% demande environ mille personnes — que la population compte cent mille habitants ou cinquante millions.
L’image qui le fait comprendre
Pour juger d’une soupe, il faut goûter une cuillère. Il n’en faut pas davantage si la marmite est plus grande — à condition qu’elle soit bien remuée.
Ce « bien remuée » est exactement l’hypothèse du chapitre 1 : le tirage doit être aléatoire. C’est elle, et non la taille de la population, qui fait tout le travail.
Les ajustements du terrain
Deux corrections à ne pas oublier
Population finie : si n dépasse 5\,\% de N, on peut réduire la taille calculée : n_{\text{ajusté}} = \frac{n}{1 + \dfrac{n-1}{N}}
Taux de réponse : si l’on n’attend que 60\,\% de réponses, il faut contacter n/0{,}60 personnes.
Un calcul complet, comme en cabinet
Objectif : \pm 3\,\% sur une population de 4\,000 salariés, taux de réponse attendu 60\,\%.
n = 1\,068, puis ajustement : 1\,068/(1+1\,067/4\,000) = 843.
Enfin : 843/0{,}60 = 1\,405 questionnaires à envoyer. C’est ce dernier nombre qui figure au devis.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- La taille se calcule avant la collecte, à partir de la précision voulue.
- Moyenne : \;n = (z_{\alpha/2}\,\sigma/e)^2, avec \sigma venu d’une étude antérieure ou d’un pré-test.
- Proportion : \;n = z_{\alpha/2}^2\,p(1-p)/e^2, et l’on prend p = 0{,}5 par prudence.
- n varie en 1/e^2 : diviser la marge par deux quadruple le coût.
- La taille de la population n’intervient pas — seule compte la qualité du tirage.
- Deux ajustements de terrain : population finie, et taux de réponse.
La suite
Nous savons estimer et encadrer. Reste la troisième question, et la plus fréquente en gestion : une affirmation est-elle compatible avec les données ?
C’est la théorie des tests, et elle occupe les sept chapitres suivants.
Ressources du chapitre
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- Exercices corrigés
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