Statistique inférentielle

La troisième face

Statistique inférentielle

Statistique inférentielle

Introduction : La troisième face

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

24 septembre 2026

Prérequis

Ce que ce cours suppose acquis

Le cours qui précède

Probabilités, dont ce cours utilise en permanence les lois et le théorème central limite.

Les notions mobilisées

Variable aléatoire, espérance, variance. Les lois normale, de Student, du khi-deux et de Fisher. Le théorème central limite, qui justifie à lui seul la moitié du cours.

Ce que le cours établit lui-même

Repris depuis le début

Échantillonnage, estimation, intervalle de confiance et test d’hypothèse sont construits ici.

Le cours ferme la boucle du bloc statistique : la descriptive décrivait un échantillon, les probabilités modélisaient le hasard, l’inférence conclut de l’un à l’autre.

Où nous sommes

Deux cours derrière nous, et une question restée sans réponse

Ce que nous savons faire

La statistique descriptive a résumé cinq cents salaires : moyenne 7\,158{,}26, écart-type 2\,598{,}10, une droite qui relie salaire et ancienneté.

Le calcul des probabilités a construit le langage du hasard : lois, espérance, variance, et deux théorèmes de convergence.

Ce que nous ne savons pas encore faire

Un institut interroge 50 salariés et trouve une moyenne de 7\,005{,}80 dirhams.

Que peut-il en dire de la population entière ? Rien, pour l’instant — et c’est précisément l’objet de ce cours.

Les trois faces d’une même discipline

Ce que la figure établit

Deux boîtes, trois trajets
Discipline Trajet Nature
Statistique descriptive dans l’échantillon résumer
Calcul des probabilités population \rightarrow échantillon déduction
Statistique inférentielle échantillon \rightarrow population induction
Le seul trajet incertain est le nôtre

Descendre est sûr : si l’on sait que p = 0{,}04, on calcule sans risque la probabilité de 14 défauts.

Remonter ne l’est pas : d’un échantillon, plusieurs populations différentes auraient pu naître. L’inférence ne supprime jamais cette incertitude — elle la mesure. C’est là toute sa valeur.

Le vocabulaire

Paramètre et statistique

Deux mots qu’il ne faut jamais confondre

Un paramètre décrit la population. Il est fixe et inconnu : m, \sigma, p.

Une statistique se calcule sur l’échantillon. Elle est connue et aléatoire : \overline{x}, s, f.

La convention de notation, à respecter dès maintenant

Lettres grecques ou majuscules latines pour les paramètres ; lettres latines minuscules pour les statistiques.

m \;\longleftrightarrow\; \overline{x} \qquad \sigma \;\longleftrightarrow\; s \qquad p \;\longleftrightarrow\; f \qquad \beta_1 \;\longleftrightarrow\; \widehat{\beta}_1

Une copie qui écrit « la moyenne de la population vaut 7\,005{,}80 » commet, en une phrase, l’erreur fondamentale du cours.

Le mot le plus important est « aléatoire »

Sur nos données

Prélevons trois échantillons de 40 salariés dans les mêmes 500. Les moyennes obtenues sont

6\,863 \qquad 7\,001 \qquad 7\,895

Trois nombres différents, calculés sur la même population, par la même méthode.

La conséquence

\overline{X} n’est pas un nombre : c’est une variable aléatoire, avec une loi, une espérance et un écart-type.

Toute la statistique inférentielle consiste à connaître cette loi, puis à s’en servir.

La démarche

Les six étapes, une fois pour toutes

Les trois questions que l’on saura traiter

Le programme du cours
Question Réponse Chapitres
Quelle valeur retenir ? estimation ponctuelle 6 à 8
Avec quelle précision ? intervalle de confiance 9 à 12
Cette affirmation tient-elle ? test d’hypothèse 13 à 19
Trois questions, un seul outil

Les trois reposent sur la même chose : la loi de la statistique calculée.

Estimer, encadrer et tester ne sont pas trois méthodes ; ce sont trois façons de lire une même distribution d’échantillonnage.

Ce que cela change en gestion

Trois décisions, trois inférences
  • Un contrôle qualité ne teste pas tous les articles : il conclut sur le lot à partir de quelques pièces.
  • Un sondage interroge mille personnes et annonce un résultat national.
  • Une étude de marché teste un produit sur un quartier et décide d’un lancement.

Dans les trois cas, la décision porte sur ce qu’on n’a pas observé.

Pourquoi on ne mesure pas tout

Trois raisons, et elles suffisent : le coût, le délai, et la destruction — on ne peut pas tester la durée de vie de toutes les ampoules produites, il n’en resterait aucune à vendre.

Quand un recensement complet est possible et peu coûteux, l’inférence est inutile. Elle n’est pas une commodité intellectuelle : elle est une nécessité économique.

Le fil rouge du cours

Les mêmes cinq cents salariés

Le jeu de données

Le fichier salaires.csv du cours de statistique descriptive : 500 salariés, six colonnes — identifiant, salaire, ancienneté, diplôme, région, sexe.

Grandeur Valeur
Effectif N 500
Moyenne m 7\,158{,}26
Écart-type \sigma 2\,598{,}10
Un dispositif inhabituel, et volontaire

Ces cinq cents salariés seront traités comme la population, dont nous connaissons donc les paramètres.

Nous y tirerons des échantillons, nous ferons semblant d’ignorer m, et nous vérifierons à chaque étape que la méthode retrouve bien la vraie valeur. C’est la seule façon de voir fonctionner l’inférence de l’intérieur.

L’échantillon de travail

Un salarié sur dix

Nous retiendrons les individus dont l’identifiant est un multiple de dix : n = 50 observations.

Grandeur Symbole Valeur
Moyenne d’échantillon \overline{x} 7\,005{,}80
Écart-type corrigé s 2\,250{,}98
Erreur-type s/\sqrt{n} 318{,}34
Un choix reproductible

Ce tirage ne dépend d’aucune graine aléatoire : n’importe quel étudiant, sous R, sous Python ou sur tableur, retrouvera exactement ces trois nombres.

C’est une exigence de méthode : un résultat statistique qu’on ne peut pas reproduire n’est pas un résultat.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Six points
  1. La descriptive résume l’échantillon ; les probabilités descendent vers lui ; l’inférence remonte vers la population.
  2. Le trajet inférentiel est le seul incertain — et le cours sert à mesurer cette incertitude.
  3. Un paramètre est fixe et inconnu ; une statistique est connue et aléatoire.
  4. \overline{X} change d’un échantillon à l’autre : c’est une variable aléatoire.
  5. Trois questions — estimer, encadrer, tester — reposent sur un seul objet : la distribution d’échantillonnage.
  6. Le fil rouge : 500 salariés de moyenne 7\,158{,}26, dont on tire 50 individus de moyenne 7\,005{,}80.
La suite

Tout ce qui précède suppose une chose que nous n’avons pas encore examinée : que l’échantillon représente la population.

Cette condition n’est pas automatique, et aucune formule ne la remplace. Le chapitre 1 lui est entièrement consacré.

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Ressources du chapitre