Statistique inférentielle
Échantillonner
- Présentation du cours
- La troisième face
- Échantillonner
- La distribution d'échantillonnage de la moyenne
- Proportion et variance
- Les trois lois de l'inférence
- Estimateur et biais
- Les qualités d'un estimateur
- Construire un estimateur
- Le principe de l'intervalle de confiance
- L'intervalle pour une moyenne
- Proportion et variance : les intervalles
- Choisir la taille de l'échantillon
- La logique d'un test
- Les deux risques et la puissance
- La p-value
- Tester une moyenne, tester une proportion
- Comparer deux groupes
- L'analyse de la variance
- Les tests du khi-deux
- La régression devient un modèle
- Tester un coefficient
- Mise en œuvre sur R et Python
Statistique inférentielle
Chapitre 1 : Échantillonner
La condition de tout le cours
Un chapitre sans formule, et pourtant décisif
Ce que les vingt chapitres suivants supposent
Toutes les formules à venir — intervalles, tests, régressions — reposent sur une hypothèse unique : l’échantillon a été tiré au hasard dans la population visée.
Si elle est fausse, les formules continuent de fonctionner. Elles donnent des résultats précis, présentables, publiables. Et faux.
La condition, énoncée
Chaque individu de la population doit avoir une probabilité connue et non nulle d’être sélectionné.
Deux mots comptent. Connue : sinon on ne peut pas calculer. Non nulle : sinon une partie de la population est invisible, quoi qu’on fasse.
Les plans de sondage
Quatre façons de tirer
Aléatoire simple et systématique
Les deux plans de base
L’échantillonnage aléatoire simple donne à chaque individu la même chance. C’est la référence théorique de tout le cours.
L’échantillonnage systématique prend un individu tous les k, après un départ tiré au sort. Il est plus commode sur le terrain.
Notre échantillon fil rouge
Un salarié sur dix, soit k = 10 et n = 50.
C’est un tirage systématique — simple, reproductible, et sans biais à condition que le fichier ne soit pas trié selon une variable liée au salaire.
Le piège du tirage systématique
Un exemple qui a réellement coûté cher
Un contrôle de production prélève une pièce toutes les heures. La machine comporte quatre têtes qui tournent à raison d’une par quart d’heure.
Le prélèvement horaire retombe toujours sur la même tête. Trois têtes sur quatre n’ont jamais été contrôlées, et l’échantillon paraît pourtant parfaitement régulier.
La règle à retenir
Le tirage systématique est sans danger si l’ordre du fichier est sans rapport avec ce qu’on mesure.
Dans le doute, on mélange le fichier avant de compter — l’opération coûte une ligne de code.
Stratifié et par grappes
Deux plans qui exploitent une structure
Le tirage stratifié découpe la population en groupes homogènes — régions, diplômes, tailles d’entreprise — et tire dans chacun.
Le tirage par grappes tire des groupes entiers — des classes, des quartiers, des agences — et interroge tout le monde à l’intérieur.
Ils vont dans des sens opposés
La stratification améliore la précision : en garantissant la représentation de chaque groupe, elle supprime une source de variabilité. À n égal, l’intervalle est plus étroit.
Les grappes dégradent la précision mais réduisent fortement le coût : on se déplace une fois pour interroger trente personnes. On accepte de perdre un peu de précision pour en gagner beaucoup sur le budget.
Le choix, en pratique
Ce que font réellement les instituts
Presque jamais un tirage aléatoire simple : il exige une liste complète de la population, que l’on n’a presque jamais.
Le plan courant combine les deux : stratification par région et catégorie sociale, puis grappes géographiques à l’intérieur. Les formules du cours s’en trouvent modifiées — mais la logique, elle, ne change pas.
Ce que ce cours suppose
Nous travaillerons systématiquement en aléatoire simple. C’est le cadre dans lequel toutes les formules classiques sont exactes, et c’est celui des examens.
Retenez seulement que la réalité professionnelle est plus complexe, et qu’un plan de sondage se conçoit avec un statisticien avant la collecte, jamais après.
Ce qui ruine un échantillon
Le biais de sélection
Trois façons de rater sa population
Les sources classiques
- Champ mal défini : on n’interroge pas ceux dont on prétend parler.
- Auto-sélection : ceux qui répondent diffèrent systématiquement de ceux qui se taisent.
- Biais de survie : on n’observe que ce qui a subsisté.
L’échec fondateur, en 1936
Un magazine américain interroge deux millions quatre cent mille personnes et annonce la défaite de Roosevelt. Il est élu avec 61\,\% des voix.
Le fichier avait été constitué à partir des abonnés au téléphone et des propriétaires d’automobile : en pleine crise, une population beaucoup plus aisée que l’électorat. Deux millions de réponses biaisées valaient moins que mille bien tirées.
Ce que le nombre ne rattrape pas
La leçon centrale du chapitre
Augmenter n réduit la variance — l’intervalle se resserre. Cela ne touche pas le biais.
Un grand échantillon biaisé est donc plus dangereux qu’un petit : il donne une fausse impression de précision autour d’une valeur fausse.
Les avis en ligne, aujourd’hui
Les notes des plateformes commerciales reposent sur les clients qui prennent la peine d’écrire — soit les très satisfaits, soit les très mécontents. Les autres, la majorité, ne disent rien.
Aucun volume de données ne corrige cette asymétrie : dix mille avis auto-sélectionnés restent dix mille avis auto-sélectionnés.
Les biais qui apparaissent après le tirage
Trois autres, à surveiller
| Biais | Mécanisme |
|---|---|
| Non-réponse | ceux qui refusent diffèrent des autres |
| Formulation | la question oriente la réponse |
| Déclaration | le répondant embellit ou dissimule |
Ils sont hors de portée du calcul
Aucune de ces trois erreurs n’apparaît dans les formules du cours, et aucune n’est mesurée par la marge d’erreur publiée.
L’erreur statistique est presque toujours la plus petite erreur d’une enquête. C’est pourtant la seule que l’on annonce, parce que c’est la seule que l’on sait chiffrer.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Toutes les formules du cours supposent un tirage aléatoire dans la population visée.
- Chaque individu doit avoir une probabilité connue et non nulle d’être tiré.
- Aléatoire simple : la référence. Systématique : commode, dangereux si le fichier est ordonné.
- Stratifié : plus précis. Par grappes : moins cher, moins précis.
- Le biais de sélection déplace le centre ; augmenter n ne le corrige jamais.
- Non-réponse, formulation, déclaration : des erreurs réelles qu’aucune marge d’erreur ne mesure.
La suite
Le tirage étant supposé correct, une question se pose : de combien la moyenne d’un échantillon peut-elle s’écarter de celle de la population ?
Nous connaissons déjà la réponse — elle vient du cours de probabilités. Le chapitre 2 la met en place et en fait l’outil central de tout le reste.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)