Statistique inférentielle
Le principe de l’intervalle de confiance
- Présentation du cours
- La troisième face
- Échantillonner
- La distribution d'échantillonnage de la moyenne
- Proportion et variance
- Les trois lois de l'inférence
- Estimateur et biais
- Les qualités d'un estimateur
- Construire un estimateur
- Le principe de l'intervalle de confiance
- L'intervalle pour une moyenne
- Proportion et variance : les intervalles
- Choisir la taille de l'échantillon
- La logique d'un test
- Les deux risques et la puissance
- La p-value
- Tester une moyenne, tester une proportion
- Comparer deux groupes
- L'analyse de la variance
- Les tests du khi-deux
- La régression devient un modèle
- Tester un coefficient
- Mise en œuvre sur R et Python
Statistique inférentielle
Chapitre 8 : Le principe de l’intervalle de confiance
Pourquoi un intervalle
Un nombre seul est une information incomplète
L’estimation ponctuelle est presque sûrement fausse
\overline{x} = 7\,005{,}80. La probabilité que ce nombre soit exactement m est nulle : \overline{X} est une variable continue.
Annoncer une estimation sans indiquer sa précision, c’est donc communiquer une valeur dont on sait qu’elle est fausse, sans dire de combien.
Deux annonces, deux décisions
« Le salaire moyen est de 7\,006 dirhams. »
« Le salaire moyen est compris entre 6\,366 et 7\,646 dirhams, avec une confiance de 95\,\%. »
La seconde permet de savoir si l’écart avec un concurrent à 7\,200 est significatif. La première ne permet rien.
La définition
Intervalle de confiance
Un intervalle de confiance au niveau 1-\alpha est un intervalle, calculé à partir de l’échantillon, qui contient le paramètre inconnu avec une probabilité 1-\alpha avant le tirage.
\alpha est le risque ; 1-\alpha est le niveau de confiance.
Les bornes sont aléatoires, pas le paramètre
Le paramètre m est fixe : il ne se promène pas.
Ce sont les bornes qui varient d’un échantillon à l’autre. L’intervalle est un filet mobile lancé vers une cible immobile.
Ce que la confiance signifie
Cent intervalles, cent échantillons
La phrase juste et la phrase fausse
Deux formulations
Correcte : « si je répétais l’opération, 95 intervalles sur cent contiendraient m. »
Incorrecte : « il y a 95\,\% de chances que m soit dans [6\,366\,;7\,646]. »
Pourquoi la seconde est fausse
Une fois l’échantillon tiré, il n’y a plus de hasard. m vaut 7\,158{,}26 : il est dans l’intervalle, ou il n’y est pas. La probabilité vaut 1 ou 0, et l’on ne sait simplement pas laquelle.
La confiance porte sur la méthode, pas sur le résultat particulier. C’est la même distinction qu’entre un estimateur et une estimation.
La lecture qu’un gestionnaire peut faire
Ce qu’il faut dire en réunion
« Notre procédure d’enquête se trompe une fois sur vingt. Avec cet échantillon, elle donne [6\,366\,;7\,646]. »
C’est rigoureux, compréhensible, et cela porte la responsabilité au bon endroit : sur la méthode retenue, qui est un choix de gestion, et non sur le nombre sorti.
Une seconde façon de le dire
Toutes les valeurs de l’intervalle sont compatibles avec les données observées, au seuil retenu. Celles qui sont dehors ne le sont pas.
Cette lecture prépare directement les tests d’hypothèse : le chapitre 15 montrera qu’un intervalle de confiance et un test bilatéral sont le même objet.
Le compromis fondamental
Confiance contre largeur
Les trois niveaux usuels
| Confiance | Quantile | Demi-largeur (nos données) |
|---|---|---|
| 90\,\% | 1{,}645 | \pm 523 |
| 95\,\% | 1{,}960 | \pm 624 |
| 99\,\% | 2{,}576 | \pm 820 |
On ne peut pas gagner sur les deux tableaux
Vouloir se tromper moins souvent oblige à élargir le filet.
À la limite, un intervalle de confiance 100\,\% serait ]-\infty\,;+\infty[ : jamais faux, jamais utile. Un intervalle très sûr et très étroit n’existe pas — sauf en augmentant n.
Les trois leviers
Ce qui fait la largeur d’un intervalle
\text{demi-largeur} = \underbrace{z_{\alpha/2}}_{\text{confiance}} \times \underbrace{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}_{\text{dispersion et taille}}
Trois leviers : le niveau de confiance, la dispersion de la population, la taille de l’échantillon.
Un seul est à la main du gestionnaire
La dispersion \sigma est une donnée du problème : on ne la choisit pas.
Le niveau de confiance est une convention à laquelle personne ne dérogera. Reste n — et c’est donc toujours par là que passe une décision de précision. Le chapitre 11 en fera un calcul.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Une estimation ponctuelle sans précision est une information incomplète.
- Un intervalle de confiance contient le paramètre avec une probabilité 1-\alpha avant le tirage.
- Ce sont les bornes qui sont aléatoires ; le paramètre est fixe.
- La confiance porte sur la méthode, jamais sur l’intervalle particulier obtenu.
- Plus de confiance signifie un intervalle plus large : les deux ne s’améliorent pas ensemble.
- Trois leviers — confiance, dispersion, taille — dont un seul se décide : n.
La suite
Le principe est posé. Le chapitre 9 le met en formule pour le paramètre le plus courant, la moyenne — avec une difficulté qu’il faudra traiter : \sigma est inconnu.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)