Statistique inférentielle
L’analyse de la variance
- Présentation du cours
- La troisième face
- Échantillonner
- La distribution d'échantillonnage de la moyenne
- Proportion et variance
- Les trois lois de l'inférence
- Estimateur et biais
- Les qualités d'un estimateur
- Construire un estimateur
- Le principe de l'intervalle de confiance
- L'intervalle pour une moyenne
- Proportion et variance : les intervalles
- Choisir la taille de l'échantillon
- La logique d'un test
- Les deux risques et la puissance
- La p-value
- Tester une moyenne, tester une proportion
- Comparer deux groupes
- L'analyse de la variance
- Les tests du khi-deux
- La régression devient un modèle
- Tester un coefficient
- Mise en œuvre sur R et Python
Statistique inférentielle
Chapitre 17 : L’analyse de la variance
Pourquoi un outil de plus
Le problème des tests multiples
Trois groupes, trois comparaisons
Bac contre Bac+2, Bac+2 contre Bac+5, Bac contre Bac+5. Trois tests à 5\,\% chacun.
P(\text{au moins un rejet à tort}) = 1 - (0{,}95)^3 = 0{,}143
Le risque réel n’est plus 5\,\% mais 14\,\% — et il monte à 40\,\% avec cinq groupes.
La solution
Un test unique, portant sur les trois moyennes à la fois :
H_0 : m_1 = m_2 = m_3 \qquad H_1 : \text{au moins une diffère}
Le risque annoncé redevient le risque réel.
La décomposition
Ce que l’ANOVA regarde
Trois sommes de carrés
La décomposition, déjà vue en descriptive
\underbrace{\text{SCT}}_{\text{variation totale}} = \underbrace{\text{SCE}}_{\text{entre les groupes}} + \underbrace{\text{SCR}}_{\text{à l'intérieur}}
\text{SCT} = \sum_{i,j}(x_{ij}-\overline{x})^2 \qquad \text{SCE} = \sum_{i} n_i(\overline{x}_i-\overline{x})^2 \qquad \text{SCR} = \sum_{i,j}(x_{ij}-\overline{x}_i)^2
Le nom du test est trompeur
On appelle cela « analyse de la variance », et l’on y compare pourtant des moyennes.
La raison est dans la figure : si les moyennes de groupe s’écartaient peu, la dispersion entre elles serait faible devant la dispersion interne. C’est en comparant deux dispersions qu’on juge des moyennes.
Le rapport de Fisher
La statistique de test
F = \frac{\text{SCE}/(k-1)}{\text{SCR}/(n-k)} \;\sim\; \text{Fisher à } (k-1) \text{ et } (n-k) \text{ degrés de liberté}
où k est le nombre de groupes et n l’effectif total.
Pourquoi cette forme
On divise chaque somme de carrés par son nombre de degrés de liberté — la règle du chapitre 3, appliquée deux fois.
Sous H_0, les deux quantités estiment la même variance résiduelle : leur rapport vaut 1 en moyenne. Un F nettement supérieur à 1 signale que les moyennes diffèrent.
L’application
Le diplôme explique-t-il le salaire
Les trois groupes
| Diplôme | n_i | Moyenne |
|---|---|---|
| Bac | 219 | 6\,058{,}90 |
| Bac+2 | 174 | 7\,080{,}75 |
| Bac+5 | 107 | 9\,534{,}39 |
| Ensemble | 500 | 7\,158{,}26 |
Le tableau d’analyse de la variance
| Source | Somme de carrés | ddl | Carré moyen |
|---|---|---|---|
| Entre (SCE) | 869\,847\,811 | 2 | 434\,923\,906 |
| Résiduelle (SCR) | 2\,505\,213\,175 | 497 | 5\,040\,671 |
| Totale | 3\,375\,060\,986 | 499 |
Le verdict
La lecture
Le résultat
F = \frac{434\,923\,906}{5\,040\,671} = 86{,}28 \qquad\text{contre un seuil de } 3{,}01
p < 0{,}0001 : on rejette H_0. Les salaires moyens diffèrent selon le diplôme.
Le rapport de corrélation, et ce qu’il ajoute
\eta^2 = \frac{\text{SCE}}{\text{SCT}} = \frac{869\,848}{3\,375\,061} = 0{,}258
Le diplôme explique 25{,}8\,\% de la dispersion des salaires. Les trois quarts viennent d’ailleurs — ancienneté, poste, performance, hasard.
Le test dit que l’effet est réel ; \eta^2 dit qu’il est important sans être déterminant. Les deux sont nécessaires.
Ce que l’ANOVA ne dit pas
Elle rejette en bloc
« Au moins une moyenne diffère » : elle ne dit pas laquelle, ni de combien.
Ici la lecture des trois moyennes suffit — l’écart Bac / Bac+5 dépasse trois mille dirhams. Sur des cas moins nets, il faut des comparaisons multiples avec un seuil corrigé.
Les conditions de validité
- Échantillons indépendants.
- Population normale dans chaque groupe — ou effectifs suffisants.
- Variances comparables entre groupes.
La troisième est la plus fragile ; l’ANOVA la supporte assez bien si les effectifs sont équilibrés, mal s’ils ne le sont pas.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Comparer k groupes deux à deux gonfle le risque réel : 14\,\% pour trois groupes, 40\,\% pour cinq.
- L’ANOVA teste toutes les moyennes en un seul test.
- \text{SCT} = \text{SCE} + \text{SCR} : la décomposition du cours de statistique descriptive.
- F compare deux dispersions pour juger des moyennes ; sous H_0 il vaut 1 en moyenne.
- Sur nos données : F = 86{,}28, p < 0{,}0001, et \eta^2 = 0{,}258.
- L’ANOVA rejette en bloc : elle ne désigne pas les groupes responsables.
La suite
Il reste un type de données non traité : les effectifs de tableau, quand les deux variables sont qualitatives.
Le chapitre 18 y consacre le dernier test du cours — celui qui ferme la boucle avec le tableau de contingence de la statistique descriptive.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)