Statistique inférentielle
La logique d’un test
- Présentation du cours
- La troisième face
- Échantillonner
- La distribution d'échantillonnage de la moyenne
- Proportion et variance
- Les trois lois de l'inférence
- Estimateur et biais
- Les qualités d'un estimateur
- Construire un estimateur
- Le principe de l'intervalle de confiance
- L'intervalle pour une moyenne
- Proportion et variance : les intervalles
- Choisir la taille de l'échantillon
- La logique d'un test
- Les deux risques et la puissance
- La p-value
- Tester une moyenne, tester une proportion
- Comparer deux groupes
- L'analyse de la variance
- Les tests du khi-deux
- La régression devient un modèle
- Tester un coefficient
- Mise en œuvre sur R et Python
Statistique inférentielle
Chapitre 12 : La logique d’un test
Décider sous incertitude
La question change de nature
On ne cherche plus une valeur, on juge une affirmation
« La convention du secteur fixe un salaire moyen de 6\,500 dirhams. Notre entreprise paie-t-elle davantage ? »
Ce n’est plus une demande d’estimation : c’est une décision binaire, et il faut une règle pour la prendre.
Test d’hypothèse
Un test est une règle qui, à partir d’un échantillon, conduit à rejeter ou à ne pas rejeter une affirmation portant sur la population.
Il ne démontre rien : il arbitre entre deux explications d’un écart observé — le hasard d’échantillonnage, ou une différence réelle.
Les deux hypothèses
Nulle et alternative
H_0, l’hypothèse nulle : celle que l’on maintient par défaut. Elle contient toujours une égalité.
H_1, l’hypothèse alternative : ce que l’on cherche à établir.
Sur notre question
H_0 : m = 6\,500 \qquad\qquad H_1 : m > 6\,500
H_0 est le statu quo : notre entreprise paie comme le secteur. H_1 est ce qu’il faudrait des preuves pour affirmer.
Le procès
L’analogie, et elle est exacte
Ce que l’asymétrie implique
Trois règles de rédaction
- H_0 contient l’égalité, toujours.
- On écrit « on ne rejette pas H_0 », jamais « on accepte H_0 ».
- On place dans H_1 ce que l’on veut établir, et donc dans H_0 ce que l’on ne veut pas affirmer à tort.
Pourquoi la deuxième règle n’est pas une coquetterie
Un acquittement ne prouve pas l’innocence : il constate que la preuve manque.
De même, ne pas rejeter H_0 peut signifier deux choses très différentes : ou bien H_0 est vraie, ou bien l’échantillon était trop petit pour voir quoi que ce soit. Le test ne permet pas de distinguer les deux.
Le choix de H_0 est une décision de gestion
Deux formulations, deux industries
Un laboratoire teste un médicament. H_0 : « le médicament est sans effet ». On exige des preuves solides pour affirmer le contraire — la charge pèse sur l’innovation.
Un contrôle de sécurité teste une pièce. H_0 : « la pièce est défectueuse ». On exige des preuves pour la déclarer conforme — la charge pèse sur le producteur.
Le principe qui gouverne le choix
On place dans H_0 l’affirmation dont l’acceptation erronée serait la plus coûteuse.
Ce n’est pas une question statistique : c’est un arbitrage entre deux risques, et il relève de la direction, pas du calcul.
La règle de décision
Les cinq étapes
La procédure, identique pour tous les tests du cours
- Écrire H_0 et H_1.
- Choisir le risque \alpha et la forme du test.
- Calculer la statistique de test.
- Lire le seuil critique dans la table de la loi correspondante.
- Conclure, en une phrase de gestion.
Seule l’étape 3 change d’un test à l’autre
Moyenne, proportion, comparaison, ANOVA, khi-deux : les cinq étapes ne bougent jamais.
Ce qui change est la statistique calculée — et donc la loi à lire à l’étape 4. C’est exactement ce qu’annonçait la carte du chapitre 4.
La statistique de test
Sa forme générale
\text{statistique} = \frac{\text{ce qu'on observe} - \text{ce que } H_0 \text{ prévoit}}{\text{erreur-type}}
Elle mesure l’écart en nombre d’erreurs-types : un écart de deux erreurs-types est rare sous H_0, un écart d’un demi ne l’est pas.
Sur notre question
t = \frac{7\,005{,}80 - 6\,500}{2\,250{,}98/\sqrt{50}} = \frac{505{,}80}{318{,}34} = 1{,}589
Notre moyenne est à 1{,}589 erreur-type au-dessus de ce que la convention annonce.
Ce qui décide
Deux lectures équivalentes
Par le seuil : on rejette H_0 si la statistique dépasse la valeur critique.
Par la p-value : on rejette H_0 si p < \alpha.
Elles donnent toujours le même verdict
Ce sont deux façons de lire la même aire sous la même courbe.
La première était la seule possible à l’époque des tables imprimées ; la seconde est celle des logiciels, et elle est plus informative — elle dit de combien on a franchi le seuil. Le chapitre 14 lui est consacré.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Un test arbitre entre hasard d’échantillonnage et différence réelle ; il ne démontre pas.
- H_0 contient l’égalité et se maintient par défaut ; H_1 est ce que l’on veut établir.
- On écrit « on ne rejette pas H_0 » — jamais « on accepte ».
- Le choix de H_0 est un arbitrage entre deux risques, donc une décision de gestion.
- Cinq étapes, identiques pour tous les tests ; seule change la statistique calculée.
- Statistique = (observé - prévu par H_0) divisé par l’erreur-type : un écart en nombre d’erreurs-types.
La suite
Rejeter à tort, ou ne pas rejeter alors qu’il le fallait : deux erreurs opposées, que l’on ne peut pas réduire ensemble.
Le chapitre 13 les mesure — et montre que l’une se fixe tandis que l’autre se subit.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)