Statistique inférentielle
Tester une moyenne, tester une proportion
- Présentation du cours
- La troisième face
- Échantillonner
- La distribution d'échantillonnage de la moyenne
- Proportion et variance
- Les trois lois de l'inférence
- Estimateur et biais
- Les qualités d'un estimateur
- Construire un estimateur
- Le principe de l'intervalle de confiance
- L'intervalle pour une moyenne
- Proportion et variance : les intervalles
- Choisir la taille de l'échantillon
- La logique d'un test
- Les deux risques et la puissance
- La p-value
- Tester une moyenne, tester une proportion
- Comparer deux groupes
- L'analyse de la variance
- Les tests du khi-deux
- La régression devient un modèle
- Tester un coefficient
- Mise en œuvre sur R et Python
Statistique inférentielle
Chapitre 15 : Tester une moyenne, tester une proportion
Le test d’une moyenne
Le cas limite, en entier
La statistique et sa loi
Le test de la moyenne
t = \frac{\overline{x} - m_0}{s/\sqrt{n}} \;\sim\; \text{Student à } n-1 \text{ degrés de liberté}
Si \sigma était connu, on lirait la table normale — mais ce n’est jamais le cas.
Les cinq étapes appliquées
1. H_0 : m = 6\,500 contre H_1 : m > 6\,500. 2. \alpha = 5\,\%, test unilatéral à droite. 3. t = \dfrac{7\,005{,}80 - 6\,500}{318{,}34} = 1{,}589. 4. Seuil : t_{0{,}95\,;49} = 1{,}677. 5. 1{,}589 < 1{,}677 : on ne rejette pas H_0.
La conclusion, rédigée
La phrase à écrire
« Au seuil de 5\,\%, les données ne permettent pas d’affirmer que le salaire moyen de l’entreprise dépasse celui de la convention. »
Et non : « le salaire moyen est de 6\,500 dirhams », qui serait une acceptation de H_0.
Ce que le gestionnaire doit ajouter
p = 0{,}059 : on est passé tout près. Et l’écart estimé, +506 dirhams, est loin d’être négligeable économiquement.
La bonne recommandation n’est pas de clore le dossier, c’est d’élargir l’échantillon. Avec cent observations au lieu de cinquante, le même écart deviendrait significatif.
Lien avec l’intervalle
Deux outils, un seul objet
L’équivalence
Pour un test bilatéral au seuil \alpha :
\text{rejeter } H_0 : m = m_0 \quad\Longleftrightarrow\quad m_0 \notin \text{IC}_{1-\alpha}
Vérification sur nos données
\text{IC}_{95\,\%} = [\,6\,365{,}94\,;\,7\,645{,}66\,].
6\,500 est dedans : le test bilatéral ne rejette pas. Et de fait, p_{\text{bilatéral}} = 0{,}119 > 0{,}05.
6\,000 serait dehors : le test le rejetterait.
Ce que cela apprend
L’intervalle contient tous les tests à la fois
Un intervalle de confiance est l’ensemble des valeurs de m_0 que le test ne rejetterait pas.
Il répond donc à une infinité de questions en une seule lecture, là où un test n’en traite qu’une.
Pourquoi les revues scientifiques exigent l’intervalle
Il donne le verdict du test et l’ampleur de l’effet et sa précision, en trois nombres.
La p-value seule n’en donne qu’un, et le moins informatif des trois. C’est la raison de fond du basculement éditorial des vingt dernières années.
Le test d’une proportion
La statistique
Le test de la proportion
z = \frac{f - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}} \;\sim\; \mathcal{N}(0\,;1)
valable si np_0 \geq 5 et n(1-p_0) \geq 5.
Un détail qui compte
Au dénominateur figure p_0, la valeur de H_0 — pas f.
Sous H_0, la vraie proportion vaut p_0 : c’est donc elle qui donne l’écart-type. C’est la différence avec l’intervalle de confiance du chapitre 10, où l’on utilisait f faute de mieux.
L’application
La direction annonce quinze pour cent de Bac+5
1. H_0 : p = 0{,}15 contre H_1 : p \neq 0{,}15. 2. \alpha = 5\,\%, bilatéral. 3. f = 13/50 = 0{,}26, et z = \frac{0{,}26 - 0{,}15}{\sqrt{0{,}15 \times 0{,}85/50}} = \frac{0{,}11}{0{,}0505} = 2{,}178 4. Seuil : 1{,}96. 5. 2{,}178 > 1{,}96 : on rejette H_0, avec p = 0{,}029.
La lecture
La conclusion de gestion
« Au seuil de 5\,\%, la part de diplômés Bac+5 diffère significativement du chiffre annoncé par la direction. »
L’échantillon suggère 26\,\% contre 15\,\% annoncés. La vraie valeur, que ce cours seul permet de connaître, est 21{,}4\,\% : le test avait raison de rejeter 0{,}15.
Deux tests, deux issues, même échantillon
Sur la moyenne, on ne rejette pas ; sur la proportion, on rejette.
Il n’y a là aucune contradiction : ce sont deux questions différentes, sur deux paramètres différents. Un test ne juge que ce qu’on lui demande de juger.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Moyenne : \;t = (\overline{x} - m_0)/(s/\sqrt{n}), loi de Student à n-1 ddl.
- Sur nos données, t = 1{,}589 contre un seuil de 1{,}677 : on ne rejette pas, à p = 0{,}059.
- La conclusion se rédige en « les données ne permettent pas d’affirmer », jamais en « c’est égal ».
- Test bilatéral et intervalle de confiance sont équivalents : rejeter, c’est être hors de l’intervalle.
- Proportion : \;z = (f-p_0)/\sqrt{p_0(1-p_0)/n} — avec p_0 au dénominateur, pas f.
- Sur nos données, z = 2{,}178 : on rejette l’annonce de 15\,\%.
La suite
Un paramètre a été confronté à une valeur fixe. La question suivante est plus fréquente encore en gestion : deux groupes diffèrent-ils entre eux ?
Le chapitre 16 la traite — sur un exemple dont la réponse va surprendre.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)