Calcul stochastique pour la finance

Le lemme d’Itô

Chapitre 6 : Le lemme d’Itô

Auteur·rice

Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

25 septembre 2026

Avant de commencer

La question du chapitre

Si X obéit à une EDS, quelle équation obéit une fonction de X ?

Pourquoi c’est la question centrale

Le prix d’une option est une fonction du prix de l’action. Un rendement logarithmique est une fonction du prix. Savoir transporter une EDS à travers une fonction, c’est tenir tout le reste du cours.

L’énoncé

La règle de multiplication

Table d’Itô

dt \cdot dt = 0, \qquad dt \cdot dW = 0, \qquad dW \cdot dW = dt.

Les deux premières lignes sont classiques : ce sont des infiniment petits d’ordre supérieur. La troisième est la variation quadratique du chapitre 1, et c’est elle qui fait toute la différence.

Le lemme

Lemme d’Itô

Soit dX_t = a\,dt + b\,dW_t et f(t,x) deux fois continûment dérivable. Alors df = \Big(\frac{\partial f}{\partial t} + a\,\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\,b^2\,\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\Big)dt \;+\; b\,\frac{\partial f}{\partial x}\,dW_t .

Comment le lire

C’est la formule de dérivation composée, augmentée d’un seul terme : \tfrac12 b^2 f_{xx}. Tout le calcul stochastique tient dans ce terme.

La démonstration

Développement de Taylor à l’ordre deux

C’est la seule démonstration du cours, parce qu’elle explique tout le reste.

df = f_t\,dt + f_x\,dX + \tfrac{1}{2}f_{xx}\,(dX)^2 + \underbrace{f_{tx}\,dt\,dX + \tfrac12 f_{tt}(dt)^2 + \cdots}_{\text{négligeables}}

En calcul classique, on s’arrête au premier ordre : (dx)^2 est d’ordre (dt)^2. Ici, il faut aller voir.

Le terme du second ordre

(dX)^2 = (a\,dt + b\,dW)^2 = a^2\underbrace{(dt)^2}_{0} + 2ab\underbrace{dt\,dW}_{0} + b^2\underbrace{(dW)^2}_{dt} = b^2\,dt.

En reportant :

df = f_t\,dt + f_x\,(a\,dt + b\,dW) + \tfrac{1}{2}f_{xx}\,b^2\,dt,

et en regroupant selon dt et dW, on obtient le lemme.

Pourquoi ce terme est positif quand f est convexe

Pourquoi ce terme est positif quand f est convexe (suite)

L’inégalité de Jensen, vue localement

Faire subir à x un choc symétrique et lui appliquer une fonction convexe ne laisse pas la moyenne inchangée : elle augmente. Le terme \tfrac12 f''b^2 mesure exactement ce gain de convexité, par unité de temps.

Trois exemples

Sur le brownien lui-même (a=0, b=1)

f(x) = x^2 : f_x = 2x, f_{xx}=2, donc d(W^2) = dt + 2W\,dW. En intégrant, on retrouve exactement le résultat du chapitre 5.
f(x) = e^{x} : d(e^{W}) = \tfrac12 e^{W}dt + e^{W}dW. La dérive apparaît alors qu’il n’y en avait aucune.
f(x) = \ln x appliqué à dX = aX\,dt + bX\,dW : f_x = 1/x, f_{xx} = -1/x^2, donc d(\ln X) = \big(a - \tfrac{1}{2}b^2\big)dt + b\,dW.

Le troisième exemple mérite un arrêt

Le -\sigma^2/2 vient d’apparaître

Avec a=\mu et b=\sigma, ce dernier calcul donne d(\ln S) = \Big(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\Big)dt + \sigma\,dW. C’est le terme laissé en suspens au chapitre 2. Le chapitre 7 en tire la solution complète.

Compléments

La version à plusieurs facteurs

Deux sources de hasard

Si dX_i = a_i\,dt + b_i\,dW^{(i)} avec \mathrm{Corr}(dW^{(1)},dW^{(2)}) = \rho\,dt, alors pour f(t,x_1,x_2) : df = \Big(f_t + \sum_i a_i f_{x_i} + \tfrac12\sum_{i,j} b_ib_j\rho_{ij} f_{x_ix_j}\Big)dt + \sum_i b_i f_{x_i}\,dW^{(i)} .

À quoi cela sert

Options sur panier, produits de change, portefeuilles multi-actifs : dès qu’il y a deux sources de risque, c’est cette version qui s’applique. Le terme croisé \rho\,f_{x_1x_2} est la trace de la dépendance étudiée en économétrie financière.

Ce que le lemme n’est pas

Trois erreurs fréquentes

Ce n’est pas une approximation : c’est une égalité exacte, au sens des intégrales.
Le terme correcteur ne disparaît pas quand \sigma est petit : il est d’ordre \sigma^2, pas d’ordre supérieur en dt.
Il s’annule si f est affine (f_{xx}=0) : le calcul classique reste valable pour les fonctions linéaires. Un portefeuille sans option obéit donc aux règles usuelles.

Synthèse

Ce qu’il faut retenir

L’essentiel du chapitre 6

Table d’Itô : (dt)^2 = 0, dt\,dW = 0, (dW)^2 = dt.
Lemme d’Itô : df = \big(f_t + a f_x + \tfrac12 b^2 f_{xx}\big)dt + b f_x\,dW.
Il se démontre par Taylor à l’ordre 2 ; le terme du second ordre survit à cause de la variation quadratique.
\tfrac12 b^2 f_{xx} est un terme de convexité : positif si f est convexe.
Appliqué à \ln S, il fait apparaître \mu - \sigma^2/2.

Vers le chapitre 7

Nous avons l’outil. Il reste à écrire l’EDS du prix d’une action, à la résoudre, et à confronter le résultat aux données — y compris à ce que l’économétrie financière a montré.

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