Calcul stochastique pour la finance
De l’équation différentielle à l’équation différentielle stochastique
- Présentation du cours
- Du temps discret au temps continu
- Le mouvement brownien
- Modéliser un prix, première tentative
- Modèles dynamiques et équations différentielles
- De l'équation différentielle à l'équation différentielle stochastique
- L'intégrale stochastique d'Itô
- Le lemme d'Itô
- Le modèle de Black-Scholes-Merton pour une action
- Les autres processus de la finance
- Couverture et équation de Black-Scholes
- Probabilité risque-neutre et formule de Black-Scholes
- Simuler, et ce qui vient après
Calcul stochastique pour la finance
Chapitre 4 : De l’équation différentielle à l’équation différentielle stochastique
Avant de commencer
Le programme du chapitre
Nous voulons écrire l’équivalent stochastique de \dot{x} = a\,x. Trois étapes : constater que la voie naturelle est fermée, trouver l’écriture qui la contourne, et mesurer ce que le hasard change au calcul.
La voie fermée
La tentation
On voudrait écrire :
\dot{x}(t) = a\,x(t) + b\,x(t)\,\xi(t),
où \xi(t) serait un « bruit blanc en temps continu ».
Ce bruit devrait être la dérivée du mouvement brownien. Or le chapitre 1 a établi que W n’est dérivable en aucun point. L’objet \xi(t) = dW/dt n’existe pas.
Ce n’est pas une difficulté technique
Si W était dérivable, ses accroissements sur [t,t+h] seraient d’ordre h. Ils sont d’ordre \sqrt{h}. Un bruit assez irrégulier pour représenter le hasard des marchés est nécessairement trop irrégulier pour être dérivé.
L’irrégularité n’est pas un défaut du modèle : c’est ce qui le rend réaliste. Il faut donc un calcul qui l’accepte.
L’écriture différentielle
Renoncer à la dérivée
La solution consiste à ne jamais diviser par dt. On écrit directement les accroissements :
dX_t = a(X_t,\,t)\,dt + b(X_t,\,t)\,dW_t.
Sur un court intervalle dt, la variation de X a deux composantes : une part prévisible, proportionnelle à la durée ; une part imprévisible, proportionnelle à l’accroissement brownien.
Ce que cette écriture signifie exactement
L’écriture différentielle est une abréviation. Son sens rigoureux est intégral :
X_t = X_0 + \int_0^t a(X_s,s)\,ds + \int_0^t b(X_s,s)\,dW_s.
La première intégrale est ordinaire. La seconde ne l’est pas : on intègre par rapport à une trajectoire brownienne. Tant que \int b\,dW n’est pas défini, l’EDS n’a aucun contenu. C’est l’objet du chapitre 5.
Dérive et diffusion
- a(X_t,t) est la dérive (drift) : la tendance moyenne, en unités par an.
- b(X_t,t) est la diffusion : l’intensité du hasard, en unités par \sqrt{\text{an}}.
La dérive porte l’espoir de rendement ; la diffusion porte le risque. Toute la finance de marché consiste à arbitrer entre les deux — et le chapitre 9 montrera qu’on peut annuler la seconde.
Une trajectoire contre une loi
Même équation de dérive. À gauche une courbe ; à droite un faisceau, dont la courbe de gauche n’est que la moyenne.
Le tableau de correspondance
Colonne par colonne
| Équation différentielle | Équation stochastique | |
|---|---|---|
| Écriture | \dot{x} = a(x,t) | dX = a(X,t)dt + b(X,t)dW |
| Sens | dérivée en chaque point | forme intégrale |
| Inconnue | une fonction | un processus |
| Solution | une trajectoire | une loi de probabilité |
| Condition initiale | x_0 fixe la courbe | X_0 fixe la loi |
| Calcul | Taylor à l’ordre 1 | Taylor à l’ordre 2 |
| Croissance | \dot{x}=ax \Rightarrow x_0e^{at} | dX = aXdt + bXdW \Rightarrow\, ? |
| Ajustement | \dot{x}=a(\bar{x}-x) | Ornstein-Uhlenbeck (ch. 9) |
Résoudre une EDS, ce n’est pas trouver une courbe : c’est décrire la distribution de X_t à chaque date. La ligne « croissance » porte un point d’interrogation — c’est le mouvement brownien géométrique, et le chapitre 7 le lèvera.
Ce que change le hasard
Le règne du second ordre
Développons f(X_t) à l’ordre deux :
df = f'(X)\,dX + \tfrac{1}{2}f''(X)\,(dX)^2 + \cdots
En calcul classique, (dx)^2 est d’ordre (dt)^2 : négligeable. Ici, avec dX = a\,dt + b\,dW :
(dX)^2 = a^2(dt)^2 + 2ab\,dt\,dW + b^2(dW)^2.
La règle de multiplication
dt \cdot dt = 0, \qquad dt \cdot dW = 0, \qquad dW \cdot dW = dt.
Donc (dX)^2 = b^2\,dt : un terme du premier ordre en dt, qu’on ne peut pas jeter.
Le calcul différentiel stochastique n’est pas le calcul classique avec du bruit en plus. C’est un calcul où la formule de dérivation composée comporte un terme supplémentaire. Ce terme est le lemme d’Itô — et c’est lui qui produira le -\sigma^2/2 du chapitre 2.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- On ne peut pas écrire dW/dt : le brownien n’est dérivable nulle part.
- On écrit donc en différentielles : dX = a\,dt + b\,dW, abréviation d’une forme intégrale.
- a est la dérive, b la diffusion ; résoudre, c’est obtenir une loi, pas une courbe.
- (dW)^2 = dt : le terme du second ordre survit, et impose un calcul différentiel nouveau.
Tout repose sur un objet encore indéfini : l’intégrale \int b\,dW. Le chapitre suivant la construit, et montre que le choix — apparemment technique — du point où l’on évalue l’intégrande a une signification financière décisive.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)