Calcul stochastique pour la finance
Modéliser un prix, première tentative
- Présentation du cours
- Du temps discret au temps continu
- Le mouvement brownien
- Modéliser un prix, première tentative
- Modèles dynamiques et équations différentielles
- De l'équation différentielle à l'équation différentielle stochastique
- L'intégrale stochastique d'Itô
- Le lemme d'Itô
- Le modèle de Black-Scholes-Merton pour une action
- Les autres processus de la finance
- Couverture et équation de Black-Scholes
- Probabilité risque-neutre et formule de Black-Scholes
- Simuler, et ce qui vient après
Calcul stochastique pour la finance
Chapitre 2 : Modéliser un prix, première tentative
Avant de commencer
Ce que nous cherchons
Un processus (S_t) qui puisse représenter le cours d’une action. Avant d’en proposer un, écrivons ce qu’il doit respecter.
- Positivité : un prix ne peut pas devenir négatif.
- Invariance d’échelle : la variation de 10 dirhams n’a pas le même sens sur une action à 100 dirhams et sur une action à 10 000. Ce sont les variations relatives qui doivent être modélisées.
- Accumulation du risque : l’incertitude doit croître avec l’horizon.
L’échec du brownien simple
Le candidat naturel
X_t = X_0 + \mu\,t + \sigma\,W_t. Une tendance linéaire, plus un bruit brownien.
Il satisfait l’exigence 3, et il est parfaitement maniable : X_t suit une loi normale de moyenne X_0 + \mu t et de variance \sigma^2 t.
Une gaussienne charge toute la droite réelle. La probabilité que X_t devienne négatif est strictement positive — et elle augmente avec t.
Ce que cela donne
Même aléa, deux modèles. L’un franchit zéro, l’autre non.
Le diagnostic
Le brownien arithmétique fait porter le bruit sur le niveau du prix : \sigma y est un montant en dirhams. Il faut le faire porter sur le rendement : \sigma doit être un pourcentage.
Le brownien géométrique
Modéliser le logarithme
r_{t} = \ln S_{t} - \ln S_{t-1} = \ln\!\left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right). Pour de petites variations, r_t \simeq (S_t - S_{t-1})/S_{t-1} : c’est bien un rendement.
Il additionne les rendements sur plusieurs périodes, ce qui appelle une marche aléatoire. Et il transforme la contrainte S_t > 0 en une absence de contrainte sur \ln S_t.
La construction
Posons donc que le logarithme du prix est un brownien avec dérive :
\ln S_t = \ln S_0 + \nu\,t + \sigma\,W_t.
En prenant l’exponentielle :
S_t = S_0 \exp\!\Big[\Big(\mu - \tfrac{\sigma^2}{2}\Big)t + \sigma\,W_t\Big]. \mu est le rendement espéré annuel, \sigma la volatilité annuelle.
Le prix est positif par construction, et les rendements sont indépendants d’une période à l’autre.
Le terme qui pose question
Nous avons écrit \nu = \mu - \sigma^2/2 sans le justifier. C’est le point aveugle de ce chapitre.
Pourquoi \mu - \sigma^2/2 et non \mu ? Aucune manipulation élémentaire ne le produit. Ce terme naîtra du lemme d’Itô, au chapitre 6, et sera pleinement justifié au chapitre 7. Retenez la question : elle organise les cinq chapitres qui viennent.
Ce que le modèle prédit
\ln S_t est gaussien, donc S_t suit une loi log-normale : \mathrm{E}(S_t) = S_0\,e^{\mu t}, \qquad \text{médiane}(S_t) = S_0\,e^{(\mu - \sigma^2/2)t}.
C’est le rôle du terme correcteur : il fait en sorte que l’espérance vaille exactement S_0 e^{\mu t}, ce qu’on attend d’un rendement espéré \mu.
Moyenne et médiane ne coïncident pas
Moyenne et médiane ne coïncident pas (suite)
La performance moyenne d’un portefeuille dépasse la performance médiane : la moyenne est tirée par quelques trajectoires très favorables. Un investisseur typique obtient la médiane, pas la moyenne. Plus la volatilité est forte, plus l’écart se creuse.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Un modèle de prix doit garantir la positivité et porter sur les variations relatives.
- Le brownien arithmétique échoue : il rend des prix négatifs possibles.
- Le mouvement brownien géométrique modélise \ln S_t par un brownien avec dérive.
- S_t suit une loi log-normale, d’espérance S_0e^{\mu t} et de médiane S_0e^{(\mu-\sigma^2/2)t}.
- Le terme -\sigma^2/2 reste inexpliqué : c’est la question ouverte du cours.
Nous avons écrit le prix sous forme explicite. Le langage naturel de la finance est pourtant celui des variations : dS en fonction de S. Pour l’écrire, il faut d’abord savoir ce qu’est une équation différentielle — et pourquoi celles que nous connaissons ne suffiront pas.
Ressources du chapitre
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- Polycopié du chapitre
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