Calcul stochastique pour la finance
Couverture et équation de Black-Scholes
- Présentation du cours
- Du temps discret au temps continu
- Le mouvement brownien
- Modéliser un prix, première tentative
- Modèles dynamiques et équations différentielles
- De l'équation différentielle à l'équation différentielle stochastique
- L'intégrale stochastique d'Itô
- Le lemme d'Itô
- Le modèle de Black-Scholes-Merton pour une action
- Les autres processus de la finance
- Couverture et équation de Black-Scholes
- Probabilité risque-neutre et formule de Black-Scholes
- Simuler, et ce qui vient après
Calcul stochastique pour la finance
Chapitre 9 : Couverture et équation de Black-Scholes
Avant de commencer
Le problème
Une action vaut S_t aujourd’hui. Un contrat promet un versement qui dépendra de S_T à une date future. Combien vaut ce contrat aujourd’hui ?
L’objet à évaluer
Ce qu’est une option
Un call de prix d’exercice K et d’échéance T donne le droit, non l’obligation, d’acheter l’action au prix K à la date T. Son gain à l’échéance vaut \max(S_T - K,\ 0). Un put donne le droit de vendre, et rapporte \max(K - S_T,\ 0).
Les deux payoffs
Le gain est une fonction non linéaire du prix final : coudée en K. Cette convexité est précisément ce que le lemme d’Itô sait traiter — et ce que l’intuition ne sait pas traiter seule.
Pourquoi l’espérance actualisée ne suffit pas
V_0 \ \stackrel{?}{=} \ e^{-rT}\,\mathrm{E}\big[\max(S_T-K,0)\big].
D’abord, cette formule dépendrait de \mu — que le chapitre 7 a montré inestimable. Ensuite, elle ignore que l’option est risquée : pourquoi l’actualiser au taux sans risque ? Il faudrait une prime de risque, et personne ne sait laquelle.
L’argument de couverture va contourner ces deux objections d’un coup.
La couverture
Construire un portefeuille sans risque
Notons V(t,S) la valeur inconnue de l’option. Constituons le portefeuille
\Pi_t = V(t,S_t) - \Delta\,S_t,
soit une option détenue et \Delta actions vendues.
Option et action montent ensemble. En vendant la bonne quantité d’actions, on peut annuler exactement la sensibilité du portefeuille au mouvement du marché.
Appliquer le lemme d’Itô
Avec dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW, le lemme donne
dV = \Big(V_t + \mu S\,V_S + \tfrac{1}{2}\sigma^2S^2\,V_{SS}\Big)dt + \sigma S\,V_S\,dW.
D’où la variation du portefeuille :
d\Pi = dV - \Delta\,dS = \Big(V_t + \mu S V_S + \tfrac12\sigma^2S^2V_{SS} - \Delta\mu S\Big)dt + \sigma S\big(V_S - \Delta\big)dW.
Le choix qui annule le hasard
En posant \Delta = \frac{\partial V}{\partial S}, le coefficient de dW s’annule identiquement.
Il reste
d\Pi = \Big(V_t + \tfrac{1}{2}\sigma^2S^2\,V_{SS}\Big)dt.
Les termes en \mu se sont éliminés avec le terme en dW. Le portefeuille couvert ne dépend plus du rendement espéré de l’action. C’est le cœur de toute la théorie.
Le delta, géométriquement
\Delta est la pente de la tangente. Comme la courbe est convexe, cette pente change : la couverture doit être ajustée en permanence. C’est ce qu’on appelle la couverture dynamique.
L’absence d’arbitrage
L’argument
Un portefeuille sans risque doit rapporter le taux sans risque r ; sinon, on emprunterait pour l’acheter — ou on le vendrait pour placer au taux r — et l’on réaliserait un profit certain sans mise de fonds.
d\Pi = r\,\Pi\,dt = r\big(V - S\,V_S\big)dt.
L’équation aux dérivées partielles
En identifiant les deux expressions de d\Pi :
\frac{\partial V}{\partial t} + r\,S\,\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\,\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \;=\; r\,V, avec la condition terminale V(T,S) = \max(S-K,0) pour un call.
L’absence de \mu
Le rendement espéré de l’action n’apparaît pas. Deux investisseurs qui divergent totalement sur l’avenir de l’entreprise s’accordent pourtant sur le prix de l’option.
L’option n’est pas évaluée comme un pari sur S_T, mais comme le coût de sa réplication. Or répliquer consiste à acheter et vendre l’action au prix du marché, quel que soit son rendement futur. Ce qui compte n’est pas où va le prix, mais de combien il bouge : \sigma, et \sigma seul.
Le paramètre inestimable a disparu ; le paramètre estimable est le seul qui reste. Sans cette propriété, aucun marché d’options ne serait possible.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Un call rapporte \max(S_T-K,0) : un gain convexe en le prix final.
- Le portefeuille \Pi = V - \Delta S devient localement sans risque pour \Delta = \partial V/\partial S.
- L’absence d’arbitrage impose d\Pi = r\Pi\,dt, d’où l’EDP de Black-Scholes.
- \mu a disparu : le prix d’une option est un coût de réplication, pas une espérance de gain.
- La couverture est dynamique : \Delta change quand S et t changent.
Nous avons une équation. Il reste à la résoudre — et le chemin le plus éclairant ne passe pas par l’analyse des EDP, mais par un changement de probabilité.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)