Calcul stochastique pour la finance
Les autres processus de la finance
- Présentation du cours
- Du temps discret au temps continu
- Le mouvement brownien
- Modéliser un prix, première tentative
- Modèles dynamiques et équations différentielles
- De l'équation différentielle à l'équation différentielle stochastique
- L'intégrale stochastique d'Itô
- Le lemme d'Itô
- Le modèle de Black-Scholes-Merton pour une action
- Les autres processus de la finance
- Couverture et équation de Black-Scholes
- Probabilité risque-neutre et formule de Black-Scholes
- Simuler, et ce qui vient après
Calcul stochastique pour la finance
Chapitre 8 : Les autres processus de la finance
Avant de commencer
Pourquoi un chapitre de plus avant les options
Il décrit une grandeur qui dérive indéfiniment : c’est vrai d’un cours d’action, faux d’un taux d’intérêt, d’un spread de crédit ou d’une volatilité. Ces grandeurs reviennent vers une moyenne.
Ce chapitre construit les processus correspondants, et referme le tableau ouvert au chapitre 3.
Ornstein-Uhlenbeck
L’équation
dX_t = \theta\,(\bar{x} - X_t)\,dt + \sigma\,dW_t, \qquad \theta > 0.
La dérive est exactement celle de l’équation d’ajustement du chapitre 3. Seul le terme \sigma dW est nouveau. C’est la version stochastique du retour à la moyenne.
La résolution, par facteur intégrant
La méthode du chapitre 3 s’applique presque sans changement. Posons f(t,x) = x\,e^{\theta t} et appliquons Itô. Comme f_{xx} = 0, le terme de convexité est nul :
d\big(X_t e^{\theta t}\big) = \theta X_t e^{\theta t}dt + e^{\theta t}dX_t = \theta\bar{x}\,e^{\theta t}dt + \sigma e^{\theta t}dW_t .
En intégrant de 0 à t :
X_t = \bar{x} + (X_0 - \bar{x})e^{-\theta t} + \sigma\!\int_0^t e^{-\theta(t-s)}\,dW_s .
Lire la solution
Le niveau de long terme \bar{x} ; l’oubli exponentiel de la condition initiale, à la vitesse \theta ; et une moyenne des chocs passés, pondérée par leur ancienneté.
L’intégrale est une somme de termes gaussiens : X_t est donc gaussien, avec
\mathrm{E}(X_t) = \bar{x} + (X_0-\bar{x})e^{-\theta t}, \qquad \mathrm{Var}(X_t) = \frac{\sigma^2}{2\theta}\big(1 - e^{-2\theta t}\big).
La différence essentielle avec le brownien géométrique
Quand t \to \infty, \mathrm{Var}(X_t) \to \sigma^2/(2\theta) : le processus admet une loi stationnaire. Le brownien, lui, a une variance qui croît sans limite.
Le tableau du chapitre 3 se referme
| Déterministe | Stochastique | |
|---|---|---|
| Temps discret, \rho=1 | — | marche aléatoire |
| Temps continu, sans rappel | \dot{x}=0 | mouvement brownien |
| Temps discret, \rho<1 | — | AR(1) stationnaire |
| Temps continu, avec rappel | \dot{x}=a(\bar{x}-x) | Ornstein-Uhlenbeck |
L’AR(1) x_{t+1} = c + \rho x_t + e_t est la discrétisation d’Ornstein-Uhlenbeck avec \rho = e^{-\theta\Delta t}. Le mouvement brownien est celle de la marche aléatoire. Les deux colonnes de votre cours d’économétrie ont désormais leur pendant continu.
Deux extensions indispensables
Le processus CIR
dX_t = \theta(\bar{x} - X_t)\,dt + \sigma\sqrt{X_t}\,dW_t.
Quand X s’approche de zéro, le terme de diffusion s’annule : seul reste le rappel \theta\bar{x}\,dt, qui est positif. Le processus est repoussé du zéro.
Si 2\theta\bar{x} \ge \sigma^2, le processus reste strictement positif. Sinon il peut toucher zéro.
Vasicek autorise des taux négatifs — longtemps considéré comme un défaut, redevenu réaliste depuis 2015. CIR les interdit, et rend en outre la volatilité plus forte quand les taux sont élevés, ce que les données confirment.
Les processus à sauts
\frac{dS_t}{S_{t^-}} = \mu\,dt + \sigma\,dW_t + \big(J - 1\big)\,dN_t, où N est un processus de Poisson d’intensité \lambda et J l’amplitude aléatoire du saut.
Un brownien est continu : pour perdre 20 %, il doit passer par -1\,\%, -2\,\%, etc. Or les krachs sont instantanés. Le terme de saut produit ce que la continuité interdit — et il épaissit les queues, comme les données l’exigent.
Choisir son processus
Le tableau de synthèse
| Grandeur | Comportement observé | Processus |
|---|---|---|
| Cours d’action | croissance, pas de niveau d’ancrage | brownien géométrique |
| Taux d’intérêt court | retour à la moyenne | Vasicek ou CIR |
| Spread de crédit | positif, retour à la moyenne | CIR |
| Volatilité | positive, très persistante | CIR (Heston) |
| Taux de change | retour lent vers la parité | Ornstein-Uhlenbeck |
| Actif en période de crise | discontinuités | diffusion avec sauts |
Deux questions suffisent : la grandeur a-t-elle un niveau d’ancrage ? doit-elle rester positive ? Les réponses désignent le processus.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Ornstein-Uhlenbeck ajoute un bruit à l’équation d’ajustement ; il se résout par facteur intégrant, sans terme de convexité puisque la transformation est affine.
- Il possède une loi stationnaire : \mathrm{Var}(X_\infty) = \sigma^2/2\theta.
- C’est le pendant continu de l’AR(1) stationnaire, comme le brownien l’est de la marche aléatoire.
- CIR remplace \sigma par \sigma\sqrt{X} et interdit le franchissement de zéro sous la condition de Feller.
- Les sauts produisent les discontinuités et les queues épaisses que le brownien ne peut pas générer.
Nous savons modéliser le sous-jacent. Reste la question qui a fait la fortune de cette théorie : combien vaut un contrat dont le gain dépend de ce sous-jacent ?
Ressources du chapitre
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