Calcul stochastique pour la finance
Simuler, et ce qui vient après
- Présentation du cours
- Du temps discret au temps continu
- Le mouvement brownien
- Modéliser un prix, première tentative
- Modèles dynamiques et équations différentielles
- De l'équation différentielle à l'équation différentielle stochastique
- L'intégrale stochastique d'Itô
- Le lemme d'Itô
- Le modèle de Black-Scholes-Merton pour une action
- Les autres processus de la finance
- Couverture et équation de Black-Scholes
- Probabilité risque-neutre et formule de Black-Scholes
- Simuler, et ce qui vient après
Calcul stochastique pour la finance
Chapitre 11 : Simuler, et ce qui vient après
Avant de commencer
Pourquoi simuler
Black-Scholes ne se résout explicitement que pour un payoff simple, un sous-jacent, une volatilité constante. Options asiatiques, à barrière, sur panier, volatilité stochastique : dans tous ces cas, il n’existe pas de formule. Il reste la simulation.
Discrétiser une équation
Le schéma d’Euler-Maruyama
Pour dX = a(X,t)dt + b(X,t)dW et un pas \Delta t : X_{k+1} = X_k + a(X_k,t_k)\,\Delta t + b(X_k,t_k)\,\sqrt{\Delta t}\;\varepsilon_k, \qquad \varepsilon_k \sim \mathcal{N}(0,1).
Dans le \sqrt{\Delta t}. Un schéma d’Euler ordinaire écrirait b\,\Delta t ; ce serait faire disparaître le hasard, comme à l’introduction. Et le coefficient est évalué en X_k — le point gauche du chapitre 5.
Le schéma de Milstein
X_{k+1} = X_k + a\,\Delta t + b\sqrt{\Delta t}\,\varepsilon_k + \tfrac{1}{2}\,b\,b'\,\Delta t\,\big(\varepsilon_k^2 - 1\big).
Le terme ajouté vient du lemme d’Itô appliqué à b lui-même : c’est encore la correction du second ordre.
| Schéma | Convergence forte | Convergence faible |
|---|---|---|
| Euler-Maruyama | \sqrt{\Delta t} | \Delta t |
| Milstein | \Delta t | \Delta t |
La convergence forte mesure l’erreur trajectoire par trajectoire ; la faible, l’erreur sur les espérances. Pour un prix d’option, seule la seconde compte : Euler suffit souvent.
Le cas particulier du brownien géométrique
Puisque la solution est explicite, on n’a aucune raison de discrétiser : S_{k+1} = S_k\exp\Big[\Big(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\Big)\Delta t + \sigma\sqrt{\Delta t}\,\varepsilon_k\Big]. Cette récurrence est exacte pour tout \Delta t, si grand soit-il.
Discrétiser une EDS dont on connaît la solution introduit une erreur inutile — et, pour le brownien géométrique, un schéma d’Euler peut même produire des prix négatifs. Résoudre d’abord, simuler ensuite.
Monte Carlo
Le principe
- Simuler N trajectoires sous \mathbb{Q}, c’est-à-dire avec une dérive r.
- Calculer le payoff sur chacune.
- En prendre la moyenne, et actualiser : \widehat{V}_0 = e^{-rT}\,\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\text{payoff}\big(S_T^{(i)}\big).
On simule sous \mathbb{Q}, avec r, et non sous la probabilité historique avec \mu. C’est l’erreur la plus fréquente, et elle biaise systématiquement le prix.
La précision
\text{écart-type de } \widehat{V}_0 \;=\; \frac{\text{écart-type du payoff}}{\sqrt{N}}.
La précision (suite)
Diviser l’erreur par 10 exige de multiplier N par 100. C’est la faiblesse structurelle de Monte Carlo — et la raison pour laquelle on réduit la variance plutôt que d’augmenter N.
Réduire la variance
Pour chaque tirage \varepsilon, utiliser également -\varepsilon. Les deux trajectoires sont négativement corrélées, ce qui réduit la variance de leur moyenne — à coût de calcul presque inchangé.
Variable de contrôle : simuler en parallèle un actif dont le prix exact est connu, et corriger l’écart observé. Échantillonnage préférentiel : concentrer les tirages là où le payoff est non nul — indispensable pour les options très en dehors de la monnaie, et pour les quantiles extrêmes de la VaR.
Les limites, et la suite
Ce que le modèle ne capture pas
Si Black-Scholes était exact, la volatilité déduite des prix de marché serait la même pour tous les prix d’exercice. Elle ne l’est pas : elle dessine une courbe en sourire, plus élevée aux extrêmes.
Le marché paie plus cher les options loin de la monnaie que ne le prévoit la loi log-normale. Autrement dit, il n’y croit pas : il attribue aux mouvements extrêmes une probabilité plus forte — exactement les queues épaisses de l’économétrie financière.
Le retour du GARCH, en temps continu
\frac{dS_t}{S_t} = r\,dt + \sqrt{v_t}\;dW^{(1)}_t, \qquad dv_t = \theta(\bar{v} - v_t)\,dt + \xi\sqrt{v_t}\;dW^{(2)}_t, avec \mathrm{Corr}(dW^{(1)},dW^{(2)}) = \rho < 0.
La variance suit un processus CIR (chapitre 8). Sa persistance reproduit les grappes de volatilité du GARCH (économétrie financière). Le \rho négatif reproduit l’effet de levier. Le calcul stochastique fournit le langage ; l’économétrie avait fourni les faits.
Le fil conducteur, du début à la fin
Ce que ce cours prépare
- Chapitre 3 — VaR Monte Carlo : la simulation de ce chapitre, appliquée non plus au prix moyen d’une option mais à un quantile de perte.
- Chapitre 4 — VaR des portefeuilles d’options : les grecques du chapitre 10 servent à approcher la perte par \Delta et \Gamma.
- Chapitre 5 — Risque de modèle : les limites énoncées ici deviennent l’objet même du chapitre.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Euler-Maruyama discrétise une EDS avec un pas de bruit en \sqrt{\Delta t} ; Milstein ajoute la correction d’Itô.
- Le brownien géométrique se simule exactement : ne pas discrétiser ce qu’on sait résoudre.
- Monte Carlo se conduit sous \mathbb{Q}, avec r et jamais \mu ; sa précision est en 1/\sqrt{N}.
- Le smile de volatilité est le démenti empirique le plus net du modèle.
- Heston réconcilie le calcul stochastique et les faits établis par l’économétrie financière.
Ce cours est parti de la marche aléatoire que vous connaissiez, et a abouti au prix d’une option. Entre les deux, une seule idée neuve : quand le hasard est assez irrégulier, le terme du second ordre ne disparaît plus. Tout le reste en découle.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)