Calcul stochastique pour la finance
Du temps discret au temps continu
- Présentation du cours
- Du temps discret au temps continu
- Le mouvement brownien
- Modéliser un prix, première tentative
- Modèles dynamiques et équations différentielles
- De l'équation différentielle à l'équation différentielle stochastique
- L'intégrale stochastique d'Itô
- Le lemme d'Itô
- Le modèle de Black-Scholes-Merton pour une action
- Les autres processus de la finance
- Couverture et équation de Black-Scholes
- Probabilité risque-neutre et formule de Black-Scholes
- Simuler, et ce qui vient après
Calcul stochastique pour la finance
Introduction : Du temps discret au temps continu
Prérequis
Ce que ce cours suppose acquis
Économétrie avancée et Économétrie financière. Le cours les prolonge et n’y revient pas.
De l’économétrie avancée : le processus autorégressif, et le cas limite \rho = 1 — la marche aléatoire, à variance croissante.
De l’économétrie financière : la volatilité conditionnelle et les faits stylisés des rendements.
Des mathématiques de Licence : la dérivée, le développement de Taylor à l’ordre deux, l’intégrale et la loi normale.
Ce que le cours établit lui-même
Une seule chose, mais elle change tout : le temps continu.
Un prix cote sans interruption, une couverture s’ajuste sans interruption. Le pas de temps n’est pas une donnée du problème financier : c’est une contrainte de la mesure, et un bon modèle ne doit pas en dépendre.
Avant de commencer
Ce que vous savez déjà
Ce cours ne part pas de zéro. Il prolonge deux enseignements.
Le processus autorégressif y_t = \rho\,y_{t-1} + e_t, et le cas limite \rho = 1 — la marche aléatoire, série I(1) à racine unitaire, dont la variance croît avec le temps.
Les faits stylisés des rendements : volatilité en grappes, queues épaisses, corrélations qui se resserrent au pire moment. Vous savez donc déjà qu’une volatilité constante est une fiction.
Ce que ce cours ajoute
Une seule chose, mais elle change tout : le temps continu.
Un prix cote sans interruption. Une couverture s’ajuste sans interruption. Le pas de temps — le jour, l’heure — n’est pas une donnée du problème financier : c’est une contrainte de la mesure. Un bon modèle ne doit pas en dépendre.
Comment écrire l’équation qui gouverne le prix d’une action, et comment s’en servir pour évaluer une option écrite sur cette action ?
La marche aléatoire
Le modèle discret
Partant de y_0, on ajoute à chaque période un pas de taille fixe \delta, vers le haut ou vers le bas avec probabilité 1/2 : y_k = y_{k-1} + \delta\,\varepsilon_k, \qquad \varepsilon_k = \pm 1 \ \text{indépendants}.
Après n pas :
\mathrm{E}(y_n) = y_0, \qquad \mathrm{Var}(y_n) = n\,\delta^2.
L’espérance ne bouge pas — c’est le caractère de martingale. La variance croît proportionnellement au temps — c’est ce qui interdit à la série de se stabiliser.
Le problème du raffinement
Découpons maintenant l’intervalle [0,\,t] en n pas de durée \Delta t = t/n, et faisons tendre n vers l’infini.
\mathrm{Var}(y_n) = n\,\delta^2 = \frac{t}{\Delta t}\,\delta^2.
- \delta = \Delta t : la variance vaut t\,\Delta t \to 0. La limite est déterministe, tout le hasard a disparu.
- \delta = \text{constante} : la variance vaut t/\Delta t \to \infty. La limite explose.
- \delta = \sigma\sqrt{\Delta t} : la variance vaut \sigma^2 t, finie et non nulle.
L’échelle en racine carrée
Le hasard s’accumule en \sqrt{t}, pas en t. C’est la seule échelle qui laisse quelque chose à la limite : ni rien, ni l’infini.
Ce n’est pas une astuce de calcul. C’est la signature de l’indépendance : ce sont les variances qui s’additionnent, pas les écarts-types.
De là vient la convention qui annualise une volatilité quotidienne en la multipliant par \sqrt{252}. Le chapitre 7 dira à quelles conditions elle est légitime — et le chapitre 11 pourquoi elle est fragile.
Le passage à la limite, vu de près
Même intervalle, même variance finale. Seul le pas change.
Ce que dit le théorème
Quand \Delta t \to 0 avec des pas d’amplitude \sigma\sqrt{\Delta t}, la marche aléatoire converge — au sens des lois sur l’espace des fonctions continues — vers un processus limite unique : le mouvement brownien.
La loi des pas n’intervient pas. Pile ou face, gaussien, uniforme : pourvu que la variance soit finie, la limite est la même. C’est un théorème central limite, non plus sur une somme, mais sur une trajectoire entière.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- La finance travaille en temps continu parce que le pas d’observation ne doit pas figurer dans le modèle.
- La marche aléatoire raffinée converge, à condition que ses pas soient d’amplitude \sigma\sqrt{\Delta t}.
- La variance croît linéairement en temps, l’écart-type en \sqrt{t}.
- La limite est unique et ne dépend pas de la loi des pas : c’est le mouvement brownien.
Nous avons obtenu un objet par passage à la limite. Le chapitre suivant l’adopte comme définition et en tire les propriétés — dont une, la non-dérivabilité, qui rendra tout le calcul différentiel classique inutilisable.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)