Calcul stochastique pour la finance
L’intégrale stochastique d’Itô
- Présentation du cours
- Du temps discret au temps continu
- Le mouvement brownien
- Modéliser un prix, première tentative
- Modèles dynamiques et équations différentielles
- De l'équation différentielle à l'équation différentielle stochastique
- L'intégrale stochastique d'Itô
- Le lemme d'Itô
- Le modèle de Black-Scholes-Merton pour une action
- Les autres processus de la finance
- Couverture et équation de Black-Scholes
- Probabilité risque-neutre et formule de Black-Scholes
- Simuler, et ce qui vient après
Calcul stochastique pour la finance
Chapitre 5 : L’intégrale stochastique d’Itô
Avant de commencer
L’objet manquant
Le chapitre 4 a écrit dX = a\,dt + b\,dW en précisant que cette écriture n’a de sens que par sa forme intégrale. Il reste à définir
\int_0^t b(X_s,s)\,dW_s.
L’intégrale usuelle échoue
La variation totale
V(g) = \sup \sum_k \big|g(t_{k+1}) - g(t_k)\big| . L’intégrale de Riemann-Stieltjes \int f\,dg est définie dès que V(g) est finie.
Sur n intervalles, chaque accroissement est d’ordre \sqrt{1/n}, et il y en a n : la somme est d’ordre n \cdot n^{-1/2} = \sqrt{n} \to \infty. La variation totale du brownien est infinie.
Ce qui reste possible
La variation quadratique, elle, est finie et vaut t (chapitre 1). C’est sur elle que reposera toute la construction.
Puisque l’intégrale ne peut pas être définie trajectoire par trajectoire, on la définit en moyenne quadratique : comme limite dans L^2 de sommes discrètes.
La construction
Les processus étagés
On commence par les intégrandes les plus simples : ceux qui sont constants sur chaque intervalle d’une subdivision.
Si b vaut b_k sur [t_k,\,t_{k+1}], on pose \int_0^t b_s\,dW_s \ = \ \sum_k b_{k}\,\big(W_{t_{k+1}} - W_{t_k}\big).
On étend ensuite par passage à la limite aux intégrandes généraux, en approchant b par des processus étagés.
Le choix du point d’évaluation
Une somme de Riemann laisse libre le point où l’on évalue l’intégrande dans chaque intervalle. Pour une fonction régulière, ce choix est sans conséquence. Ici, il en a une.
On évalue toujours l’intégrande au point gauche : b_{t_k}, et jamais b_{t_{k+1}} ni b au milieu.
Ce que ce choix veut dire
b_{t_k} est la position détenue au début de l’intervalle : elle est décidée avant d’observer le mouvement du marché. Le point droit reviendrait à choisir sa position en connaissant déjà la variation à venir. La convention d’Itô est l’interdiction de la clairvoyance — c’est ce qui la rend seule admissible en finance.
Les propriétés
Sous des conditions d’intégrabilité usuelles :
- Espérance nulle : \mathrm{E}\Big[\displaystyle\int_0^t b_s\,dW_s\Big] = 0.
- Isométrie d’Itô : \mathrm{E}\Big[\Big(\displaystyle\int_0^t b_s\,dW_s\Big)^{\!2}\Big] = \mathrm{E}\Big[\displaystyle\int_0^t b_s^2\,ds\Big].
- L’intégrale, vue comme processus en t, est une martingale.
- et (3) découlent du point gauche : b_{t_k} est connu quand W_{t_{k+1}}-W_{t_k} survient, et cet accroissement est centré et indépendant. (2) transforme un calcul de variance stochastique en une intégrale ordinaire — c’est l’outil de travail.
Itô ou Stratonovich
En évaluant l’intégrande au milieu de chaque intervalle, on obtient l’intégrale de Stratonovich, notée \int b \circ dW. Elle obéit aux règles du calcul classique — mais elle n’est plus une martingale, et elle anticipe.
La physique préfère souvent Stratonovich, dont les règles sont plus commodes. La finance ne le peut pas : un modèle où l’on décide en connaissant l’avenir autorise des profits sans risque. On accepte donc un calcul plus lourd, contre un modèle honnête.
L’exemple qui doit surprendre
Calculer \int_0^t W_s\,dW_s
Le calcul classique donnerait \tfrac12 W_t^2. Vérifions. Partons de l’identité algébrique
W_{k+1}^2 - W_k^2 = 2\,W_k\big(W_{k+1}-W_k\big) + \big(W_{k+1}-W_k\big)^2 .
En sommant sur toute la subdivision :
W_t^2 = 2\sum_k W_{t_k}\big(W_{t_{k+1}}-W_{t_k}\big) + \sum_k \big(W_{t_{k+1}}-W_{t_k}\big)^2 .
Le terme surprise
La première somme tend vers 2\int_0^t W_s dW_s. La seconde est la variation quadratique : elle tend vers t. D’où :
\int_0^t W_s\,dW_s \ = \ \frac{1}{2}W_t^2 \ - \ \frac{1}{2}\,t.
Le terme -t/2 n’a aucun équivalent en calcul classique. Il ne vient pas d’une erreur : il vient de ce que la somme des carrés ne s’annule pas. Ce terme est le premier lemme d’Itô rencontré. Le chapitre 6 le généralise.
Vérification par l’espérance
Puisque \mathrm{E}\big[\int W\,dW\big] = 0, la formule impose \mathrm{E}(W_t^2) = t — ce qui est exact.
Si l’on avait gardé la formule classique \tfrac12 W_t^2, son espérance vaudrait t/2 \ne 0 : l’intégrale stochastique ne serait plus centrée, et perdrait sa propriété de martingale. Le terme correcteur n’est pas facultatif.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- L’intégrale de Riemann-Stieltjes est inutilisable : la variation totale du brownien est infinie.
- L’intégrale d’Itô se construit dans L^2, à partir des processus étagés.
- L’intégrande est évalué au point gauche : on décide avant d’observer.
- Elle est centrée, c’est une martingale, et l’isométrie d’Itô donne sa variance.
- \int_0^t W\,dW = \tfrac12 W_t^2 - \tfrac12 t : le terme -t/2 annonce le lemme d’Itô.
Nous savons intégrer. Il reste à savoir dériver — c’est-à-dire à trouver comment se comporte f(X_t) quand X obéit à une EDS. C’est le lemme d’Itô, et il ouvre immédiatement la voie au prix d’une action.
Ressources du chapitre
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