Calcul stochastique pour la finance

Probabilité risque-neutre et formule de Black-Scholes

Chapitre 10 : Probabilité risque-neutre et formule de Black-Scholes

Auteur·rice

Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

25 septembre 2026

Avant de commencer

Le raisonnement du chapitre

Le prix d’une option ne dépend pas de \mu. Nous allons exploiter ce fait de la façon la plus radicale : puisque la réponse est la même quel que soit \mu, choisissons le \mu qui rend le calcul facile.

Le changement de probabilité

L’idée

Probabilité risque-neutre

La probabilité \mathbb{Q} sous laquelle tout actif — l’action comme l’option — a pour rendement espéré le taux sans risque r : \frac{dS_t}{S_t} = r\,dt + \sigma\,dW^{\mathbb{Q}}_t .

Ce que \mathbb{Q} n’est pas

Ce n’est pas une croyance sur le monde, et personne ne pense que les actions rapportent le taux sans risque. C’est un instrument de calcul, légitimé par le fait que le prix cherché ne dépend pas de \mu.

Le théorème qui l’autorise

Théorème de Girsanov (énoncé)

Changer la dérive d’un mouvement brownien revient à changer de probabilité, sans modifier l’ensemble des trajectoires possibles. En posant W^{\mathbb{Q}}_t = W_t + \frac{\mu - r}{\sigma}\,t, le processus W^{\mathbb{Q}} est un mouvement brownien standard sous \mathbb{Q}.

La quantité qui apparaît

(\mu - r)/\sigma est le ratio de Sharpe de l’action : la prime de risque par unité de volatilité. Passer de \mathbb{P} à \mathbb{Q}, c’est exactement retirer la prime de risque.

Le prix comme espérance

Évaluation risque-neutre

V_0 \;=\; e^{-rT}\;\mathrm{E}_{\mathbb{Q}}\big[\text{payoff}(S_T)\big].

Pourquoi l’actualisation au taux sans risque est ici légitime

Sous \mathbb{Q}, plus aucun actif ne porte de prime de risque : tous rapportent r. L’objection du chapitre 9 tombe. La difficulté a été déplacée du choix d’un taux d’actualisation vers un changement de mesure.

La formule

Le calcul

Sous \mathbb{Q}, le chapitre 7 donne

S_T = S_0\exp\Big[\Big(r - \frac{\sigma^2}{2}\Big)T + \sigma W^{\mathbb{Q}}_T\Big],

donc \ln S_T est gaussien de moyenne \ln S_0 + (r-\sigma^2/2)T et de variance \sigma^2T. Il reste à calculer une espérance sur une log-normale tronquée en K.

Formule de Black-Scholes

C_0 = S_0\,N(d_1) \;-\; K\,e^{-rT}\,N(d_2), d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + \big(r + \tfrac{\sigma^2}{2}\big)T}{\sigma\sqrt{T}}, \qquad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}. N est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Lire la formule

Deux termes, deux rôles

K e^{-rT}N(d_2) est la valeur actualisée du prix d’exercice, pondérée par N(d_2) — la probabilité risque-neutre d’exercer.

S_0N(d_1) est la valeur de l’action reçue en cas d’exercice, et N(d_1) est aussi la quantité d’actions à détenir pour couvrir : c’est le \Delta du chapitre 9.

Parité call-put

C_0 - P_0 = S_0 - K\,e^{-rT}. Cette relation ne suppose aucun modèle : elle découle du seul arbitrage. Elle donne le put dès qu’on a le call.

Ce que la formule dit du prix

Sensibilités, lues directement

C_0 croît avec S_0 : le call est un droit d’acheter.
C_0 croît avec \sigma : la volatilité ne coûte rien au détenteur — il ne subit pas les baisses — et lui offre les hausses.
C_0 croît avec T et avec r : plus le paiement de K est repoussé, moins il pèse.

Les grecques

Les cinq sensibilités

Définitions

Grecque	Dérivée	Ce qu’elle mesure
Delta \Delta	\partial V/\partial S	sensibilité au prix
Gamma \Gamma	\partial^2 V/\partial S^2	instabilité du delta
Vega	\partial V/\partial\sigma	sensibilité à la volatilité
Theta	\partial V/\partial t	érosion par le temps
Rho	\partial V/\partial r	sensibilité au taux

Pour un call : \Delta = N(d_1) \in\, ]0,1[, et \Gamma > 0.

Gamma et theta : les deux faces d’une même pièce

Réécrivons l’EDP du chapitre 9 pour un portefeuille couvert (\Delta-neutre) :

\Theta + \tfrac{1}{2}\sigma^2S^2\,\Gamma = r\,V .

La lecture la plus utile du cours

Le détenteur d’une option a \Gamma > 0 : chaque mouvement du sous-jacent, à la hausse comme à la baisse, lui profite lorsqu’il rééquilibre sa couverture. Il paie ce privilège par un \Theta < 0 : la valeur temps s’érode chaque jour. Le gamma est ce qu’on achète, le theta est son loyer.

Ce que la couverture ne peut pas faire

Trois raisons pour lesquelles elle est imparfaite

Le rééquilibrage est discret, non continu : entre deux ajustements, le gamma laisse passer une erreur.
Chaque ajustement supporte des coûts de transaction, qui croissent quand on couvre plus souvent.
\sigma est supposée connue et constante — l’économétrie financière a montré qu’elle ne l’est pas.

C’est le point de départ du chapitre « risque de modèle » du cours de Value at Risk.

Synthèse

Ce qu’il faut retenir

L’essentiel du chapitre 10

Sous \mathbb{Q}, tout actif rapporte r ; Girsanov autorise ce changement de dérive.
(\mu-r)/\sigma, le ratio de Sharpe, est exactement ce que le changement de mesure retire.
V_0 = e^{-rT}\mathrm{E}_{\mathbb{Q}}[\text{payoff}], d’où C_0 = S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2).
N(d_2) est la probabilité risque-neutre d’exercice ; N(d_1) est le delta de couverture.
\Theta + \tfrac12\sigma^2S^2\Gamma = rV : le gamma s’achète, le theta le paie.

Vers le chapitre 11

La formule fermée n’existe que pour les options les plus simples. Dès qu’on sort de ce cadre, il faut simuler — et c’est cette technique que le cours de Value at Risk reprendra directement.

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