Calcul stochastique pour la finance
Modèles dynamiques et équations différentielles
- Présentation du cours
- Du temps discret au temps continu
- Le mouvement brownien
- Modéliser un prix, première tentative
- Modèles dynamiques et équations différentielles
- De l'équation différentielle à l'équation différentielle stochastique
- L'intégrale stochastique d'Itô
- Le lemme d'Itô
- Le modèle de Black-Scholes-Merton pour une action
- Les autres processus de la finance
- Couverture et équation de Black-Scholes
- Probabilité risque-neutre et formule de Black-Scholes
- Simuler, et ce qui vient après
Calcul stochastique pour la finance
Chapitre 3 : Modèles dynamiques et équations différentielles
Avant de commencer
Un chapitre qui ne suppose rien
Les équations différentielles ne figurent dans aucun cours antérieur de votre cursus. Ce chapitre les construit à partir de trois choses seulement : la dérivée, la primitive et l’exponentielle.
Il se limite strictement à ce dont les chapitres 7 et 8 auront besoin : les équations du premier ordre, et deux méthodes de résolution.
Une équation différentielle
Le changement de question
Une équation dont l’inconnue est une fonction x(t), et qui relie cette fonction à sa dérivée : \dot{x}(t) = f\big(x(t),\,t\big), \qquad \text{avec } \dot{x} = \frac{dx}{dt}.
3x + 2 = 8 demande un nombre. Une équation différentielle demande une trajectoire : non pas où l’on est, mais comment on se déplace à chaque instant.
Une loi de mouvement, pas une position
La théorie économique dit rarement quel sera le niveau du capital dans dix ans. Elle dit comment il varie : l’investissement moins la dépréciation. C’est une loi de mouvement — donc une équation différentielle.
Une équation différentielle a une infinité de solutions. Il faut une condition initiale x(0) = x_0 pour en isoler une.
La séparation des variables
L’équation de la croissance exponentielle
\dot{x} = a\,x, \qquad x(0) = x_0. La variation est proportionnelle au niveau atteint.
Séparons ce qui dépend de x et ce qui dépend de t :
\frac{dx}{x} = a\,dt \ \Longrightarrow \ \int \frac{dx}{x} = \int a\,dt \ \Longrightarrow \ \ln x = a\,t + c.
En prenant l’exponentielle et en fixant c par la condition initiale :
\boxed{\;x(t) = x_0\,e^{a t}\;}
Lire la solution
a > 0 : croissance sans limite. a < 0 : décroissance vers zéro. a = 0 : immobilité. Le signe de a décide de tout, son ampleur ne fait que régler la vitesse.
Un capital placé au taux continu a vaut x_0e^{at} après t années. C’est la capitalisation continue — celle que la finance emploie, parce qu’elle seule est stable par changement de périodicité.
Le facteur intégrant
L’équation d’ajustement
\dot{x} = a\,(\bar{x} - x), \qquad a > 0. La variable est rappelée vers un niveau de long terme \bar{x}, d’autant plus vite qu’elle en est loin.
La séparation des variables fonctionnerait ici, mais apprenons la méthode qui servira au chapitre 8. On réécrit :
\dot{x} + a\,x = a\,\bar{x}.
Le principe
On multiplie les deux membres par e^{at}, choisi pour que le membre de gauche devienne une dérivée de produit :
e^{at}\dot{x} + a\,e^{at}x = \frac{d}{dt}\big(e^{at}x\big) = a\,\bar{x}\,e^{at}.
Il ne reste qu’à intégrer :
e^{at}x(t) = \bar{x}\,e^{at} + c \ \Longrightarrow \ \boxed{\;x(t) = \bar{x} + (x_0 - \bar{x})\,e^{-at}\;}
Le facteur intégrant est le multiplicateur qui transforme une somme en une dérivée de produit. C’est le seul choix qui rende l’équation directement intégrable.
Lire la solution
L’écart à la cible, x(t) - \bar{x}, décroît exponentiellement au taux a. La demi-vie de l’ajustement vaut \ln 2 / a.
Ajustement partiel des prix vers leur niveau d’équilibre ; convergence du capital vers son sentier de long terme dans le modèle de Solow ; retour d’un taux d’intérêt vers sa moyenne historique.
Le pont avec l’économétrie
L’AR(1) est une équation d’ajustement discrétisée
Reprenons \dot{x} = a(\bar{x} - x) sur un petit intervalle \Delta t :
x_{t+\Delta t} \simeq x_t + a(\bar{x} - x_t)\,\Delta t = \underbrace{a\bar{x}\Delta t}_{\text{constante}} + \underbrace{(1 - a\Delta t)}_{\rho}\,x_t .
C’est exactement un AR(1) x_{t+1} = c + \rho\,x_t, avec \rho = 1 - a\Delta t.
Le tableau qui relie les deux cours
| Temps discret (économétrie) | Temps continu (ce cours) |
|---|---|
| x_{t+1} = c + \rho\,x_t | \dot{x} = a(\bar{x} - x) |
| \rho < 1 : stationnaire | a > 0 : retour à la moyenne |
| \rho = 1 : marche aléatoire | a = 0 : pas de rappel |
| Vitesse : \rho^k | Vitesse : e^{-at} |
La colonne de gauche a un pendant stochastique que vous connaissez : l’AR(1) bruité. La colonne de droite n’en a pas encore. Le chapitre 4 le construit, et le chapitre 8 refermera ce tableau.
Ce qui manque à ces modèles
La solution d’une équation différentielle est une seule courbe, entièrement déterminée par x_0. Connaissant aujourd’hui, on connaît tout l’avenir. Aucun prix d’actif ne se comporte ainsi.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Une équation différentielle décrit une loi de mouvement ; une condition initiale sélectionne une trajectoire.
- \dot{x} = a x se résout par séparation des variables : x_t = x_0e^{at}.
- \dot{x} = a(\bar{x}-x) se résout par facteur intégrant : x_t = \bar{x} + (x_0-\bar{x})e^{-at}.
- L’AR(1) de l’économétrie est la version discrétisée de l’équation d’ajustement.
- Ces modèles sont déterministes : c’est leur limite.
Il faut donc introduire le hasard dans une équation différentielle. La tentation est d’ajouter un terme de bruit à \dot{x}. Le chapitre suivant montre pourquoi c’est impossible — et ce qu’on écrit à la place.
Ressources du chapitre
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