Calcul stochastique pour la finance
Le mouvement brownien
- Présentation du cours
- Du temps discret au temps continu
- Le mouvement brownien
- Modéliser un prix, première tentative
- Modèles dynamiques et équations différentielles
- De l'équation différentielle à l'équation différentielle stochastique
- L'intégrale stochastique d'Itô
- Le lemme d'Itô
- Le modèle de Black-Scholes-Merton pour une action
- Les autres processus de la finance
- Couverture et équation de Black-Scholes
- Probabilité risque-neutre et formule de Black-Scholes
- Simuler, et ce qui vient après
Calcul stochastique pour la finance
Chapitre 1 : Le mouvement brownien
Avant de commencer
D’où l’on vient
L’introduction a produit un objet limite. Nous cessons maintenant de le construire : nous le définissons, et nous travaillons avec.
Le mouvement brownien n’est plus l’aboutissement d’un calcul, c’est une brique. Comme la loi normale : on ne la redémontre pas à chaque usage, on s’en sert.
La définition
Quatre propriétés, et rien d’autre
Un processus (W_t)_{t\ge 0} est un mouvement brownien standard si :
- W_0 = 0 ;
- ses accroissements sont indépendants : pour s < t < u, W_t - W_s et W_u - W_t sont indépendants ;
- ses accroissements sont gaussiens et stationnaires : W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0,\,t-s) ;
- ses trajectoires sont continues.
Lire la définition
- interdit la mémoire : le passé ne renseigne pas sur le prochain mouvement.
- interdit les sauts de loi : l’aléa est le même à toute date, et sa taille ne dépend que de la durée écoulée.
- interdit les discontinuités : pas de krach instantané. C’est la principale faiblesse du modèle, on y reviendra au chapitre 8.
- est la forme forte de l’efficience : aucune stratégie fondée sur l’historique ne procure d’avantage. (3) dit que le risque d’un placement dépend de sa durée, pas de sa date.
Les premières conséquences
\mathrm{E}(W_t) = 0, \qquad \mathrm{Var}(W_t) = t, \qquad \mathrm{Cov}(W_s, W_t) = \min(s,t).
Pour s < t, on écrit W_t = W_s + (W_t - W_s). Le second terme est indépendant du premier et centré, donc \mathrm{Cov}(W_s,W_t) = \mathrm{Var}(W_s) = s = \min(s,t).
Une martingale
\mathrm{E}\big(W_t \mid \mathcal{F}_s\big) = W_s \quad \text{pour } s < t, où \mathcal{F}_s désigne l’information disponible à la date s.
La meilleure prévision de demain est la valeur d’aujourd’hui. C’est exactement ce que disait la marche aléatoire \mathrm{E}(y_{t+1}\mid y_t) = y_t — l’écho continu de ce que vous connaissez déjà.
Cinq trajectoires
L’enveloppe \pm\sqrt{t} n’est pas une barrière : c’est l’écart-type.
La rugosité des trajectoires
Continues partout, dérivables nulle part
Presque sûrement, la trajectoire t \mapsto W_t n’admet de dérivée en aucun point.
L’argument tient en une ligne. Sur un intervalle de longueur h, l’accroissement est d’ordre \sqrt{h}, donc
\frac{W_{t+h} - W_t}{h} \ \sim \ \frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}} \ \xrightarrow[h\to 0]{} \ \infty.
On ne pourra jamais écrire dW/dt. Toute la partie II est la recherche d’un calcul différentiel qui s’en passe.
Le zoom qui ne lisse rien
Chaque vignette est un zoom de la précédente, remis à l’échelle \sqrt{\ }. Une courbe dérivable finirait par ressembler à une droite. Celle-ci ne se calme jamais.
La variation quadratique
Pour une subdivision de [0,t] de pas tendant vers zéro, \sum_k \big(W_{t_{k+1}} - W_{t_k}\big)^2 \ \longrightarrow \ t. On note \langle W \rangle_t = t, et l’on résume par la règle formelle (dW)^2 = dt.
La somme des carrés des accroissements est aléatoire terme à terme, et pourtant sa limite est déterministe. Chaque carré vaut en moyenne \Delta t ; il y en a t/\Delta t ; le total vaut t et ne fluctue plus.
Ce que la variation quadratique entraîne
Pour une fonction dérivable f, la même somme tendrait vers zéro : les accroissements sont d’ordre h, leurs carrés d’ordre h^2, et il n’y en a que t/h.
Dans un développement de Taylor, le terme du second ordre ne disparaît pas. C’est précisément lui qui produira le lemme d’Itô au chapitre 6, et le fameux -\sigma^2/2 du chapitre 7.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Quatre propriétés définissent le brownien : départ en zéro, accroissements indépendants, gaussiens de variance égale à la durée, trajectoires continues.
- \mathrm{E}(W_t)=0, \mathrm{Var}(W_t)=t, \mathrm{Cov}(W_s,W_t)=\min(s,t) ; c’est une martingale.
- Les trajectoires sont continues mais nulle part dérivables : dW/dt n’existe pas.
- La variation quadratique vaut t : formellement (dW)^2 = dt.
Nous avons un processus. Est-il un bon modèle de prix ? Le chapitre suivant montre qu’en l’état, non — et construit celui qui convient.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)