Calcul stochastique pour la finance
Le modèle de Black-Scholes-Merton pour une action
- Présentation du cours
- Du temps discret au temps continu
- Le mouvement brownien
- Modéliser un prix, première tentative
- Modèles dynamiques et équations différentielles
- De l'équation différentielle à l'équation différentielle stochastique
- L'intégrale stochastique d'Itô
- Le lemme d'Itô
- Le modèle de Black-Scholes-Merton pour une action
- Les autres processus de la finance
- Couverture et équation de Black-Scholes
- Probabilité risque-neutre et formule de Black-Scholes
- Simuler, et ce qui vient après
Calcul stochastique pour la finance
Chapitre 7 : Le modèle de Black-Scholes-Merton pour une action
Avant de commencer
Le chapitre où la boucle se referme
Le chapitre 2 a posé une question : d’où vient le -\sigma^2/2 ? Le chapitre 6 a donné l’outil. Ici, nous répondons.
L’hypothèse fondatrice
Écrire l’équation du prix
\frac{dS_t}{S_t} = \mu\,dt + \sigma\,dW_t, \qquad \text{soit} \qquad dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t.
Ce n’est pas le prix qui obéit à une loi simple, c’est son rendement. Une action à 100 dirhams et une action à 10 000 dirhams peuvent partager le même \mu et le même \sigma ; elles ne partageraient jamais la même dérive en dirhams.
Le lien avec ce que vous savez
Discrétisée, l’équation donne \frac{S_{t+\Delta t}-S_t}{S_t} \simeq \mu\,\Delta t + \sigma\sqrt{\Delta t}\;\varepsilon, \qquad \varepsilon \sim \mathcal{N}(0,1). Les rendements sont indépendants et de même loi : le logarithme du prix suit une marche aléatoire. C’est l’hypothèse d’efficience, sous sa forme la plus nette.
La résolution
Appliquer Itô au logarithme
Posons f(S) = \ln S. Alors f' = 1/S et f'' = -1/S^2. Le lemme d’Itô, avec a = \mu S et b = \sigma S :
d(\ln S) = \Big(\mu S \cdot \frac{1}{S} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\cdot\Big(-\frac{1}{S^2}\Big)\Big)dt + \sigma S\cdot\frac{1}{S}\,dW
\boxed{\;d(\ln S_t) = \Big(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\Big)dt + \sigma\,dW_t\;}
La solution explicite
Le membre de droite ne dépend plus de S : il s’intègre directement.
\ln S_t - \ln S_0 = \Big(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\Big)t + \sigma W_t
\boxed{\;S_t = S_0\exp\Big[\Big(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\Big)t + \sigma W_t\Big]\;}
C’est exactement la formule posée sans justification cinq chapitres plus tôt. Le terme -\sigma^2/2 est le terme de convexité du lemme d’Itô, appliqué à une fonction concave — le logarithme — d’où son signe négatif.
Pourquoi le rendement moyen n’est pas la dérive du logarithme
\mu répond à : de combien le prix croît-il en moyenne ? Réponse : \mathrm{E}(S_t) = S_0e^{\mu t}.
\mu - \sigma^2/2 répond à : de combien croît-il le plus souvent ? C’est le taux de croissance de la médiane, et celui que réalise presque sûrement une trajectoire sur longue période.
Deux fonds de même \mu mais de volatilités différentes n’offrent pas la même expérience. Celui dont \sigma est le plus élevé a une performance moyenne identique et une performance typique inférieure. C’est le coût de la volatilité, souvent appelé variance drag.
Un exemple chiffré
S_0 = 100, \mu = 8\,\%.
- \sigma = 15\,\% : moyenne 100\,e^{0{,}8} = 223 ; médiane 100\,e^{(0{,}08-0{,}011)\times 10} = 199.
- \sigma = 40\,\% : moyenne 223 également ; médiane 100\,e^{(0{,}08-0{,}08)\times 10} = 100.
Même espérance, et pourtant le second placement a une chance sur deux de n’avoir rien rapporté.
Estimer les deux paramètres
La volatilité s’estime bien
Sur n rendements logarithmiques quotidiens r_i :
\hat{\sigma} = \sqrt{\frac{252}{n-1}\sum_i (r_i - \bar{r})^2}.
La variance s’additionne dans le temps : la variance annuelle vaut 252 fois la variance quotidienne, donc l’écart-type est multiplié par \sqrt{252}. C’est la règle de la racine carrée du temps, rencontrée à l’introduction — valable uniquement sous l’hypothèse d’indépendance des rendements.
La dérive s’estime mal
\hat{\mu} \ \text{a un écart-type de} \ \frac{\sigma}{\sqrt{T}}, \qquad T = \text{durée totale d'observation}.
Cet écart-type ne dépend que de la durée T, jamais de la fréquence d’échantillonnage. Observer à la minute plutôt qu’au jour n’améliore en rien l’estimation de \mu.
Avec \sigma = 20\,\% et vingt ans de données : écart-type de \hat\mu égal à 0{,}20/\sqrt{20} = 4{,}5\,\%. L’intervalle de confiance à 95 % sur un rendement espéré de 8 % couvre donc environ [-1\,\%,\ 17\,\%].
On ne connaîtra jamais \mu avec précision. Il serait catastrophique que le prix d’une option en dépende. Le chapitre 9 montrera le miracle : il n’en dépend pas.
Confrontation aux données
Ce que l’économétrie financière a déjà montré
| Le modèle suppose | Les données montrent |
|---|---|
| \sigma constante | volatilité en grappes (GARCH) |
| rendements gaussiens | queues épaisses, kurtosis > 3 |
| trajectoires continues | sauts lors des annonces et des krachs |
Parce qu’il est le seul à conduire à une formule fermée, donc à une intuition transmissible et à un étalon de comparaison. Un modèle faux mais compris vaut mieux qu’un modèle juste et opaque — à condition de savoir précisément où il est faux.
Les trois portes de sortie
- Sauts : le chapitre 8 introduit les processus de Merton.
- Volatilité non constante : le chapitre 11 esquisse Heston, version continue du GARCH.
- Conséquences pratiques : le cours de Value at Risk en fait son chapitre « risque de modèle ».
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- dS/S = \mu\,dt + \sigma\,dW : le rendement, non le prix, obéit à une loi simple.
- Itô appliqué à \ln S donne d(\ln S) = (\mu - \sigma^2/2)dt + \sigma dW, donc la solution explicite du chapitre 2.
- \mathrm{E}(S_t) = S_0e^{\mu t} mais médiane = S_0e^{(\mu-\sigma^2/2)t} : la volatilité coûte à la performance typique.
- \sigma s’estime bien ; \mu ne s’estime pas, et cela ne s’améliore pas en échantillonnant plus finement.
- Le modèle est démenti sur trois points connus — et reste le point de départ obligé.
Une action n’est pas le seul objet de la finance. Un taux d’intérêt ne dérive pas indéfiniment : il revient vers une moyenne. Le chapitre suivant construit les processus correspondants — et referme le tableau ouvert au chapitre 3.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)