Chapitre 6 — Le lemme d'Itô

Calculatrice interactive — Calcul stochastique pour la finance

Appliquer le lemme d'Itô à $f(X_t)$

On part de $dX_t=a(X_t)\,dt+b(X_t)\,dW_t$. Saisir $f(x)$, $a(x)$ et $b(x)$ en JavaScript (variable x). Les dérivées $f_x$ et $f_{xx}$ sont calculées numériquement (différences finies centrées). Le lemme donne $df=\big(a(x)f_x+\tfrac12b(x)^2f_{xx}\big)dt+b(x)f_x\,dW_t$.

f(x) =

a(x) =

b(x) =

au point $x=$

Exemples à essayer : f=x*x, a=0.1*x, b=0.25*x (indice au carré, cf. exercice 5) ; f=Math.log(x), a=0.08*x, b=0.3*x (log d'un GBM, apparaît au chapitre 7) ; f=1/x, a=0.06*x, b=0.15*x (taux inverse, cf. exercice 6) ; f=Math.sqrt(x), a=0.5, b=0.8 (racine, cf. exercice 3).

Visualiser l'effet de convexité

On trace $f(x)$ autour du point choisi, avec sa tangente (approximation linéaire) : l'écart entre la courbe et la tangente est directement lié au terme $\tfrac12b^2f_{xx}$ du lemme d'Itô (Jensen).