Introduction à l’analyse des données
Axes, valeurs propres et inertie expliquée
- Présentation du cours
- Voir en deux dimensions ce qui en a beaucoup
- De la statistique descriptive à l'analyse des données
- Rappels sur une variable : centrer et réduire
- La covariance, généralisation de la variance
- La corrélation linéaire
- Le tableau de données et le nuage
- L'inertie, ou l'information d'un nuage
- L'idée de l'analyse en composantes principales
- Axes, valeurs propres et inertie expliquée
- Combien d'axes retenir
- Le cercle des corrélations
- Le plan des individus
- Du khi-deux à l'analyse des correspondances
- Lire un plan de correspondances, et la suite
Introduction à l’analyse des données
Chapitre 8 : Axes, valeurs propres et inertie expliquée
La solution du problème
Le résultat
Le théorème central de l’ACP
Les axes principaux sont les vecteurs propres de la matrice des corrélations R.
L’inertie portée par chaque axe est la valeur propre associée.
C’est le chapitre 5 d’Algèbre linéaire
Un vecteur propre d’une matrice est une direction que la matrice ne fait pas tourner : elle se contente de l’étirer, d’un facteur qui est la valeur propre.
L’ACP n’est donc pas une méthode statistique nouvelle : c’est une diagonalisation. Le problème d’optimisation du chapitre 7 se ramène exactement à ce calcul.
Pourquoi cela tombe juste
La matrice des corrélations décrit la forme du nuage. Ses directions propres sont celles selon lesquelles il s’étire, et les valeurs propres mesurent de combien.
Chercher la direction d’allongement maximal, c’est donc chercher le vecteur propre de plus grande valeur propre. Le problème du photographe a une solution exacte, et elle se calcule.
Le calcul sur le fil rouge
Deux variables, deux axes
La matrice des corrélations
R = \begin{pmatrix} 1 & 0{,}9 \\ 0{,}9 & 1 \end{pmatrix}
Ses valeurs propres
Pour une matrice de cette forme, les valeurs propres se lisent directement :
\lambda_1 = 1 + 0{,}9 = \mathbf{1{,}9} \qquad\qquad \lambda_2 = 1 - 0{,}9 = \mathbf{0{,}1}
Et leurs directions propres sont les deux bissectrices :
| Axe | Direction | Sens |
|---|---|---|
| 1 | (1\,;\,1)/\sqrt{2} | les deux critères ensemble |
| 2 | (1\,;\,-1)/\sqrt{2} | les deux critères en opposition |
La lecture, immédiate
Le premier axe porte les deux variables dans le même sens : c’est la satisfaction globale. Un client qui monte sur cet axe juge bien l’accueil et se montre fidèle.
Le deuxième les oppose : il distingue les clients dont les deux notes s’écartent l’une de l’autre. Comme il ne porte que 0{,}1 d’inertie, ces cas sont rares — ce que le r = 0{,}9 laissait prévoir.
Ce qui rend tout lisible
La somme des valeurs propres
Le résultat
\sum_{k=1}^{p} \lambda_k = I = p
La somme des valeurs propres est l’inertie totale, donc le nombre de variables.
Vérification
\lambda_1 + \lambda_2 = 1{,}9 + 0{,}1 = 2 = p \quad \checkmark
Contrôle à faire systématiquement : si la somme ne tombe pas sur p, le calcul est faux.
L’inertie expliquée
\text{part de l'axe } k = \frac{\lambda_k}{p}
Sur le fil rouge
| Axe | Valeur propre | Part | Cumul |
|---|---|---|---|
| 1 | 1{,}9 | \mathbf{95\,\%} | 95\,\% |
| 2 | 0{,}1 | 5\,\% | 100\,\% |
Un seul axe conserve 95\,\% de l’information du tableau.
Représenter les cinq clients sur cette unique droite, plutôt que dans le plan, ne perd que 5\,\% — et fait passer de deux dimensions à une.
Le chameau, résolu
C’est la réponse chiffrée à l’introduction. Le « bon angle » existe, il se calcule, et l’on sait exactement ce qu’il conserve.
Le photographe n’avait que son œil. L’analyse des données a un nombre.
Ce que valent les valeurs
Trois configurations
Lire le spectre des valeurs propres
| Configuration | Ce qu’elle signifie |
|---|---|
| \lambda_1 très grande, les autres faibles | une dimension dominante — les variables disent toutes la même chose |
| Valeurs propres décroissant régulièrement | plusieurs dimensions utiles |
| Toutes proches de 1 | variables non corrélées — l’ACP n’apporte rien |
Le dernier cas mérite d’être reconnu tout de suite
Si toutes les valeurs propres avoisinent 1, la matrice des corrélations est proche de l’identité : chaque variable porte une information propre.
Il n’y a alors rien à résumer — et le constater est un résultat, pas un échec.
Une propriété qui sera utile au chapitre 9
Définition
Sur données réduites, une valeur propre supérieure à 1 signifie que l’axe porte plus d’inertie qu’une variable seule.
Un axe sous ce seuil résume donc moins bien qu’une variable isolée : c’est le fondement du critère de Kaiser.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Les axes principaux sont les vecteurs propres de la matrice des corrélations.
- L’inertie portée par un axe est sa valeur propre.
- Sur le fil rouge : \lambda_1 = 1{,}9 et \lambda_2 = 0{,}1, de directions (1\,;\,1) et (1\,;\,-1).
- La somme des valeurs propres vaut p — un contrôle systématique.
- Le premier axe conserve 1{,}9/2 = \mathbf{95\,\%} de l’inertie du tableau.
La suite
Avec deux variables, le choix était simple. Avec douze, il faudra décider combien d’axes retenir — et c’est le chapitre 9.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)