Introduction à l’analyse des données
Combien d’axes retenir
- Présentation du cours
- Voir en deux dimensions ce qui en a beaucoup
- De la statistique descriptive à l'analyse des données
- Rappels sur une variable : centrer et réduire
- La covariance, généralisation de la variance
- La corrélation linéaire
- Le tableau de données et le nuage
- L'inertie, ou l'information d'un nuage
- L'idée de l'analyse en composantes principales
- Axes, valeurs propres et inertie expliquée
- Combien d'axes retenir
- Le cercle des corrélations
- Le plan des individus
- Du khi-deux à l'analyse des correspondances
- Lire un plan de correspondances, et la suite
Introduction à l’analyse des données
Chapitre 9 : Combien d’axes retenir
La question
Un arbitrage, non un calcul
Les deux extrêmes sont mauvais
Retenir tous les axes ne perd aucune information — et ne réduit rien. On revient au tableau de départ, avec son problème de dimension intact.
Retenir un seul axe donne la représentation la plus simple, au prix d’une perte qui peut être considérable.
Il n’existe pas de réponse unique, et aucun critère ne tranche à lui seul. On en utilise donc trois, et l’on regarde s’ils concordent.
Les trois critères
Le critère de Kaiser
La règle
Sur données réduites, retenir les axes dont la valeur propre dépasse 1 : \lambda_k > 1
Sa justification
Chaque variable réduite porte exactement une unité d’inertie. Un axe qui en porte moins résume moins bien qu’une variable seule — il ne mérite donc pas d’être conservé.
Le seuil n’est pas arbitraire : il découle directement du fait que I = p, établi au chapitre 6.
Ses limites
La règle est mécanique et souvent trop généreuse quand les variables sont nombreuses. Un axe à 1{,}02 et un axe à 0{,}98 ne diffèrent en rien de substantiel, et pourtant la règle les sépare.
C’est un point de départ, pas une décision.
Le critère du coude
L’éboulis des valeurs propres
On trace les valeurs propres par ordre décroissant, et l’on cherche le décrochement — le point où la courbe cesse de chuter et s’aplatit.
On retient les axes situés avant ce coude.
Ce que le coude traduit
Avant le coude, chaque axe apporte nettement moins que le précédent : les dimensions sont hiérarchisées, structurées.
Après, les valeurs propres décroissent lentement et régulièrement — c’est la signature du bruit, qui se répartit à peu près également sur toutes les directions restantes.
Le coude sépare donc ce qui est structure de ce qui ne l’est pas.
Sa limite
Le coude est parfois net, souvent ambigu, et parfois absent. Deux lecteurs peuvent le placer différemment.
C’est un critère visuel, à assumer comme tel.
Le critère du pourcentage cumulé
La règle
Retenir assez d’axes pour atteindre un seuil d’inertie cumulée — souvent 70 ou 80\,\%.
Le seuil dépend du nombre de variables
Avec trois variables, atteindre 80\,\% est facile et ne prouve rien.
Avec trente, y parvenir sur trois axes est une réduction remarquable — de trente dimensions à trois, en ne perdant qu’un cinquième.
Un pourcentage ne se juge donc jamais dans l’absolu, mais rapporté au p de départ.
Faire converger les trois
Un cas typique, sur huit variables
| Axe | \lambda | Part | Cumul |
|---|---|---|---|
| 1 | 3{,}2 | 40\,\% | 40\,\% |
| 2 | 1{,}8 | 22{,}5\,\% | 62{,}5\,\% |
| 3 | 1{,}1 | 13{,}8\,\% | 76{,}3\,\% |
| 4 | 0{,}7 | 8{,}8\,\% | 85{,}1\,\% |
| 5 | 0{,}5 | 6{,}3\,\% | 91{,}4\,\% |
- Kaiser retient trois axes (3{,}2 ; 1{,}8 ; 1{,}1 dépassent 1).
- Le coude se situe après le troisième : la chute 1{,}1 \to 0{,}7 est nette, puis la décroissance ralentit.
- Le cumul atteint 76{,}3\,\% sur trois axes.
Les trois critères concordent : on retient trois axes.
Quand ils divergent
Intuition
C’est le cas fréquent. Il faut alors ajouter un quatrième critère, qui n’est pas numérique : l’axe est-il interprétable ?
Un axe à 1{,}05 sur lequel aucune variable ne se distingue n’apporte rien. Un axe à 0{,}95 qui oppose clairement deux familles de critères mérite d’être gardé.
C’est un jugement, et il doit être motivé — pas dissimulé derrière un seuil.
Le plan factoriel
Deux axes, une feuille
Le plan principal
En pratique, on représente presque toujours le plan formé des deux premiers axes.
Son inertie est (\lambda_1 + \lambda_2)/p.
Sur le cas à huit variables
Le premier plan porte 40 + 22{,}5 = 62{,}5\,\% de l’inertie.
Si un troisième axe est retenu, on trace un second plan — axes 1 et 3, ou 2 et 3 — plutôt que d’imaginer une figure en trois dimensions.
La règle de lecture la plus importante
Toute lecture d’un plan factoriel doit être accompagnée de son pourcentage d’inertie.
Un plan à 62\,\% se commente avec prudence : plus d’un tiers de l’information n’y figure pas. Deux individus qui y paraissent proches peuvent être éloignés dans les dimensions non représentées.
Le chapitre 11 donnera l’outil qui permet de vérifier cela individu par individu.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Le nombre d’axes est un arbitrage entre simplicité et fidélité.
- Kaiser : garder les axes tels que \lambda > 1, puisque chaque variable pèse 1.
- Le coude de l’éboulis sépare la structure du bruit — critère visuel.
- Le cumul se juge relativement au nombre de variables de départ.
- Un quatrième critère décide en cas de désaccord : l’axe est-il interprétable ?
La suite
Les axes sont choisis. Il faut maintenant les interpréter — et cela commence par le côté des variables, avec le cercle des corrélations.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)